Intervallschachtelung

27.11.2004, 12:06

studka

Intervallschachtelung

Hallo...hat hierzu irgendjemand ne Idee?

zeigen sie, vielleicht unter Zuhilfenahme der Bernoullischen Ungleichung), dass {In;n€N(natürliche Zahlen)} mit
In=](1+(1/n))^n,(1+(1/n))^(n+1)[
eine Intervallschachtelung ist.

...danke

27.11.2004, 12:22

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RE: Intervallschachtelung
Es ist

$\begin{eqnarray*} I_n=\left] a_n,b_n\right[ \quad\mbox{mit}\quad a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\;b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du "nur" noch

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\qquad \frac{b_{n+1}}{b_n}\leq 1 \end{eqnarray*}$

beweisen (einfach mal einsetzen und umformen).

Und richtig, dabei wird die Bernoullische Ungleichung

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx,\qquad\mbox{gültig für}\quad n\geq 1,\; x\geq -1 \end{eqnarray*}$

hilfreich sein.

27.11.2004, 12:44

studka

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dankeschön

...kann das sein, dass nur größer, und nicht größer gleich bei an... rauskommt...

...und das wäre dann schon der ganze Beweis?

27.11.2004, 12:47

studka

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achja, noch ne Frage, wie kommst du auf die Ungleichungen für an und bn?

danke

27.11.2004, 12:49

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Zitat:

Original von studka
...kann das sein, dass nur größer, und nicht größer gleich bei an... rauskommt...

Was heißt "nur", das ist ja sogar eine stärkere Aussage. Aber richtig, das gilt auch.

Zum Beweis einer Intervallschachtelung muss man zusätzlich noch

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 \end{eqnarray*}$

nachweisen, aber das sollte dann nicht mehr das Problem sein.

27.11.2004, 12:55

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Zitat:

Original von studka
achja, noch ne Frage, wie kommst du auf die Ungleichungen für an und bn?

Du meinst sicher, wie ich darauf komme, dass man die zeigen muss?

Das ergibt sich aus dem Prinzip der Intervallschachtelung

$\begin{eqnarray*} \left]a_n,b_n\right[ = I_n\supset I_{n+1} = \left]a_{n+1},b_{n+1}\right[ \end{eqnarray*}$

(die Intervalle ziehen sich immer mehr auf einen Punkt zusammen), umgeschrieben bedeutet diese Mengeninklusion eben

$\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1},\quad b_n\geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

27.11.2004, 13:52

studka

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damit müsste ich zurecht kommen

danke schön

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