Vektorraum

27.11.2004, 11:16	Mankiw	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Hi! Bräuchte dringend Hilfe bei einer Matheaufgabe, habe nämlich keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.... Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} a_1, ...,a_r \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} G\in\mathbb R^{rxr} \end{eqnarray}$ die durch $\begin{eqnarray} g_{i,j}=a_i^ta_j \end{eqnarray}$ definierte Matrix. Zeigen Sie, dass G genau dann positiv definit ist, wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} a_1, ...,a_r \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Wäre für jede Hilfe dankbar (bin nämlich mittelmäßig verzweifelt), Grüße
27.11.2004, 17:50	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Zeige, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} x^TGx = \\| y\\|^2 \;{\text{ mit }}\; y = \sum_i \lambda_i a_i\; {\text{ und }}\; x = (\lambda_1,\dots,\lambda_r)^T\;. \end{eqnarray}$
28.11.2004, 08:04	Mankiw	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Und wie soll ich das genau machne? Kann mir da vielleicht jemand nochmal helfen? Danke schön!
28.11.2004, 09:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ der i-te Einheitsvektor ist (also $\begin{eqnarray} e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots,0)^T \end{eqnarray}$ mit der 1 an der i-ten Stelle), dann berechne mal $\begin{eqnarray} e_i^T G e_j\;. \end{eqnarray}$
02.12.2004, 16:31	Mankiw	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn ich das mache, dann bleibt nur ein Eintrag in der Matrix stehen und sonst sind überall Nullen. Aber was bringt mir das nun?! Steh ich auf dem Schlauch?!

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