Ebenen - Analytische Geometrie

16.04.2007, 16:58	h2O2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen - Analytische Geometrie Hi, mir fehlen bei folgenden Aufgaben die Ansätze: 1. "Eine Ebene ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt. Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an." Gegeben ist $\begin{eqnarray} g : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(5\|-5\|3) \end{eqnarray}$ . Wie geht man da ran? 2. "Warum legen die Geraden g1 und g2 eindeutig eine Ebene fest? Bestimme die Parametergleichung der Ebene. $\begin{eqnarray} g_1 : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2 : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand einen Tipp geben? Thx.
16.04.2007, 17:03	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1. einen Richtungsvektor der Ebene hast du (den Richtungsvek. der Gerade) Den anderen erhältst du, indem du den Verbindungsvektor vom Aufpunkt der Gerade zum Punkt P bildest zu 2. Du musst nachweisen, dass der Aufpunkt von g_2 nicht auf g_1 liegt. Einen Richtungsvektor hast du bereits, den anderen erhältst du mit dem Verbindungsvektor der Aufpunkte der Geraden P.s.: Stützvektor = Aufpunkt das führt immer wieder zu Verwirrung
16.04.2007, 17:03	Tjamke	Auf diesen Beitrag antworten »
1) wenn du einen Punkt und eine Gerade hast, kannst du vom Sützvektor zum Punkt P einen Richtungsvektor bilden, denn du dann verwendest um die Ebene aufzustellen 2)Überprüfe die gegenseitige Lage der Geraden und überlege dir warum sie eine Ebene genau festlegen können (oder nicht) und dann die Ebene Aufstellen wie bei 1) Edit: zu spät, sry
16.04.2007, 17:09	Matti	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. du muaat dir vorstellen das beide geraden die gleiche richtung haben . nun musst du testen ob die stützvektoren linear abhängig sind oder nicht. falls ja sind sie identisch. falls nein sind sie parallel. nun kannst du einfach den ersten stützvektor vom zweiten abziehen was (4-2/0-5/1-1) ergeben müsste. schon hast du deinen zweiten richtungsvektor den du an die erste geradengleichung anfügst. fertig
17.04.2007, 16:02	h2O2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Ich hab jetzt beide Aufgaben gelöst! Allerdings: Zu 1: wieso ergibt der Verbindungsvektor vom Stützvektor der Geraden zum Punkt P den zweiten Richtungsvektor der Ebene? Wie kommt man darauf? Und ähnliches zu 2: man untersucht also zunächst die Lage der Geraden und erfährt, dass sie parallel verlaufen. Dann müsste schließlich für die Ebenengleichung rauskommen: $\begin{eqnarray} E : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wie kommt man hier darauf, dass man für den zweiten Richtungsvektor den Verbindungsvektor vom Stützvektor der ersten Geraden zum Stützvektor der zweiten Geraden bilden muss? Mir geht es also um das Verständnis dahinter. Vielen Dank schonmal!
17.04.2007, 17:53	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich nur sagen mache Skizzen !!! Was auch ganz hilfreich ist, ist sich das ganze mit Stabilos zu verdeutlichen.
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