Beweis

27.11.2004, 15:26	Svende	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Folgende Aufgabe: Sei K ein Körper und sei A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & & ... & & a_n \\ * & * & ... & a_n-1 & 0 \\ ... & ...& ... & ... \\ * & a_2 & ... & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Element Mnn(K) Dabei bezeichnet ein beliebiges Körperelement. Bewe4isen Sie die Formel det(A) = (-1) $\begin{eqnarray} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray}$ a1a2...an . Ich habe das ganze erst mal mit Zahlen ausprobiert und komme damit mit HIlfe der Cramer'schen Regel ohne Probleme auf die Formel det(A) = (-1) n(n-1) a1a2...a(n-2). Da immer nach der letzten Zeile entwickelt werden kann, simt a1a2+...a(n-2) vor der Matrix steht. Dann bleibt um det(A) zu berechnen eben das Produkt aus a1... * a n-2* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & a_n\\ a_n-1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix kann man dann mitkilfe der Sarrus-Regel ausrechnen, was dann logisch (-1) an(an-1) gibt und eben mit dem ersten Produnkt die Determinante ergibt. Aber wie kommt man darauf, das daraus dann die oben geannte Formel entsteht??? (Ich hoffe man versteht mich, das aufschreiben fällt mir eatwas schwer...)
27.11.2004, 15:30	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, probiers doch mal mit vollständiger Induktion über n. Gruß Anirahtak
28.11.2004, 11:16	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ohne Induktion kann man es so beweisen: Für die $\begin{eqnarray} A' = \begin{pmatrix} a_{1} & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ & a_{2} & 0 & 0 & ... & 0 \\ * & * & a_{3} & 0 & ... & 0 \\ ... \\ * & * & * & ... & a_{n-1} & 0 \\ * & * & * & * & ... & a_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist die Lösung nach dem Determinantensatz $\begin{eqnarray} \rm{det}(A') = a_{1} a_{2} ... a_{n} \end{eqnarray}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ in die gegebene Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ überführen, wenn man unterste Zeile von $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ an den (n - 1) vorstehenden Zeilen vorbeivertauscht nach oben, das erzeugt jedes mal eine -1 für die Determinante, die dann letzte Zeile (n - 2) mal nach oben usw. usf. ... somit hat man die -1 $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n-1} j = n (n - 1)/2 \end{eqnarray}$ mal als Faktor in einem Produkt vor der Lösung für $\begin{eqnarray} \rm{det}(A') \end{eqnarray}$ zu stehen und ist fertig, d.h. hat die Lösung für $\begin{eqnarray} \rm{det}(A) \end{eqnarray*}$ .
28.11.2004, 12:57	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wie man darauf kommt, dass man das dann mit n(n-1)/2 multiplizieren muss, habe verstehe ich nicht. Wo nimmt man das her und warum?
01.12.2004, 17:38	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn man von der Matrix A' die unterste Zeile mit der vorletzten vertauscht, bekommt man einen Faktor -1 rein (bei der Berechnung der Determinante). Wenn die (ehemals) unterste Zeile oben angekommen ist, hat man eine Matrix A'' und det A'' = (-1) (-1) ... (-1) a1 a2 a3 ... an mit n - 1 Faktoren (-1), weil man an den n-1 vorstehenden Zeilen vorbeivertauscht hat. In A'' ist die Zeile ( * * * ... a_{n-1} 0) die letzte. Diese bringt man nach oben als zweite Zeile das sind n-2 Vertauschungen. Es entsteht eine Zwischenmatrix A''' mit (n - 1) + (n - 2) Faktoren (-1). Das Ziel ist doch, A' am Ende in die Matrix A der Aufgabe zu überführen und dabei zu zählen, wieviele Faktoren (-1) auftauchen. Setzt Du das fort, kommst Du bei A an und hast genausoviele Faktoren (-1) wie die Summe angibt und der Wert der Summe ist n (n - 1)/2 und damit ist die Aufgabe gelöst oder der Beweis geführt.

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