Richtungsableitungen |
| 27.11.2004, 16:11 | Lissy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Richtungsableitungen Habe Probleme mit folgender Aufgabe, wer kann mir da auf die Sprünge helfen? Sei Zu Zeigen: 1) f ist stetig im Nullpunkt und alle Richtungsableitungen dvf(0,0) existieren.Berechnen Sie diese! 2) Ist , so ist differenzierbar, aber es gilt nicht die Formel der Kettenregel, also . Vielleicht kann mir auch jemand einen guten Link schicken, wo man Ableitungen, Funktionen etc. im IR^n mal einfach und gut erklärt bekommt? Vielen lieben Dank! |
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| 28.11.2004, 11:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Richtungsableitungen erkläre bitte mal genauer, was denn das Problem ist. Die Berechnung der Richtungsableitung? Oder was anderes? Hast du dir irgendwelche Überlegungen zur Aufgabe gemacht? |
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| 28.11.2004, 13:35 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Richtungsableitungen Hallo, ich schreibe diese Antwort als Lernender und möchte gern, dass ein Profi sie beurteilt. Danke zum Voraus! Zu 1): Mit den entsprechenden Metriken versehen (zB euklidische, Absolutbetrag) sind der |R^2 und |R (sorry, beherrsche Latex immer noch nicht) metrische Räume. Deshalb darf man aus der Folgenstetigkeit in einem Punkt (x0,y0) auf Stetigkeit schliessen. Sei (x_n,y_n), n € |N eine beliebige Folge mit dem Grenzwert (0,0). Zu zeigen ist limes f(x_n, y_n) = 0 = f(0,0) für n -> oo. |f(x_n,y_n| = | y_n^5/(2*x_n^4+y_n^4)| = |y_n|*|y_n^4/(2*x_n^4+y_n^4)| <= |y_n|, weil |y_n^4/(2*x_n^4+y_n^4| <=1 für alle (x_n,y_n). Daraus folgt lim f(x_n,y_n) = 0 für (x_n,y_n) -> (0,0), f ist folgenstetig -> f ist stetig in (0,0). Richtungsableitungen: Sei g: {t € |R | (0,0) +t*(v1,v2)^T} -> |R mit g(t) := f((0,0) + t*(v1,v2)^T). f heisst in (0,0) in Richtung (v1,v2)^T differenzierbar, wenn g(t) in t = 0 differenzierbar ist. f((0,0) + t(v1,v2)^T) = v2^5/(2*v1^5+v2^5)*t => df/dt = v2^5/(2*v1^5+v2^5) => g ist in t = 0 differenzierbar => alle Richtungsableitungen existieren. ABER: f selber ist in (0,0) NICHT differenzierbar. Dazu müssten die partiellen Ableitungen existieren und überall stetig sein. Für (x,y) <> (0,0) ist dies der Fall (rationale Funktionen). Im Punkt (0,0) ist aber df/dx nicht stetig, was man wiederum mit der Folgenstetigkeit zeigen kann. Nähert man sich dem Punkt (0,0) auf der Geraden y = x ergibt sich für df/dx im Punkt (0,0) der Wert -8/9. Nähert man sich dagegen auf der Geraden y =-x, erhält man den Grenzwert 11/9. Zusammengefasst folgt: f ist stetig in (0,0) und damit in ganz |R (rationale Funktion). In (0,0) existieren alle Richtungsableitungen. Aber f ist in (0,0) NICHT differenzierbar. Kann das überhaupt sein??? Zu 2): Da habe ich nicht ganz verstanden, was verlangt wird. Bitte um Beurteilung meines Lösungsansatzes. Danke 
yeti |
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| 28.11.2004, 15:14 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Quatsch! Komm nicht klar mit Latex. Muss noch üben 
yeti |
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| 29.11.2004, 11:33 | Lissy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Richtungsableitungen
Hallo, also ich kann ja einmal eine Ableitung für x und eine eine für y bilden?! Das hab ich auch gemacht, allerdings weiß ich nun nicht, was es bedeutet "Richtungsableitungen dvf(0,0) existieren"? Im Punkt (0,0) ist die R-Ableitung doch (0,0) oder habe ich einen Denkfehler. Zur Stetigkeit vermute ich einen Epsilon-Delta-Beweis aber habe auch da keine genauere Idee |
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| 29.11.2004, 12:10 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Lissy, schau dir doch einmal meinen Beitrag an. Er ist etwas mühsam zu lesen, weil ich mit Latex 2 Stunden vertrödelte und doch nicht zurande kam. 1) f ist stetig in (0,0). Das zeige ich mit der Folgenstetigkeit. Weil es sich um metrische Räume handelt, folgt daraus die Stetigkeit. Du kannst meinen Beweis aber auch auf einen delta/epsilon-Beweis ummünzen, wenn du im |R^2 |x_n^2 + y_n^2| < delta^2 setzest und |f((x_n,y_n))| < epsilon. Die Richtungsableitungen im Punkt (0,0) sind <> 0. Das zeige ich mit der Definition der Richtungsableitung. Hingegen ist f in (0,0) nicht differenzierbar, weil bereits die partielle Ableitung nach x in (0,0) unstetig ist, wie gezeigt. 2) Hier habe ich nicht ganz verstanden, um was es sich handelt. Könntest du es noch einmal ausführlicher darlegen? Gruss yeti |
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| 29.11.2004, 13:19 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du mal hier geschaut? Gruß vom Ben |
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| 29.11.2004, 13:27 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ben, nein, hatte ich nicht
. Danke für den Tip! Wäre es zuviel verlangt, wenn du, als Matheprofi, mal meinen Beitrag anschauen würdest, um zu beurteilen, ob ich das richtig gemacht habe? Bitte!Wie du an meinen kürzlichen Beiträgen sehen kannst, gebe ich mir wirklich Mühe, mit dem Formeleditor zu arbeiten. Aber den ganzen Beitrag über "Richtungsableitungen" nochmals zu schreiben wäre schon eine Strafe. Gruss yeti |
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| 18.06.2005, 19:55 | petergrabs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die stetigkeit der partiellen ableitungen ist nicht notwendig fuer die diffbarkeit in einem punkt. was notwendig ist, ist das uebereinstimmen aller richtungsableitungen mit dem produkt aus jacobimatrix und dem jeweiligen richtungsvektor. das wird hier wohl beispielsweise fuer die richtung u=(1,1) schiefgehen. wenn ich das richtig ueberblicke, ist ja Jf(0)=(0 1), also Jf(0)u=1, aber J_uf(0)=1/3. |
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