Fourier-Reihen? |
| 27.11.2004, 18:06 | Dummi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Fourier-Reihen? kann mir jemand mal in einfachen Worten das Prinzip und die Berechnung von Fourier-Reihen und -Koeffizienten erklären oder irgendwie näher bringen? Ich versteh das absolut nicht!! Sorry, dass ich die Frage so allgemein halte, aber vielleicht blicke ich durch mein Skript auch dann alleine durch, wenn ich zumindest mal die Grundlagen weiß, was ich damit mache und wie ich es mache! Ich hoffe ihr könnt mir helfen! |
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| 27.11.2004, 20:10 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zum Prinzip: Ich nehme an, sin- und cos-Funktionen kennst du. Dann weißt du auch, dass es neben der Funktion sin(x) auch Funktionen wie sin(2x), sin(3x), sin(4x) ... usw. gibt, ebenso für cos. Nun hatte man schon lange festgestellt, dass durch Überlagerung=Summierung solcher Funktionen mit geeigneten Faktoren andere periodische Funktionen dargestellt werden können, wie z.B mit 4 Gliedern grob angenähert eine periodische Dreiecks- bzw. Sägezahn-Funktion http://www.matheboard.de/plotter.php?f=s...*x%29%2F4&x=&y= Um/nach 1800 hat dann Fourier gezeigt, dass man mit den sin- und cos-Funktionen sehr viele periodische Funktionen mit beliebiger Genauigkeit nachbilden kann, wenn man nur genug Glieder nimmt, im allgemeinen unendlich viele, und auch ein Rechenverfahren dazu geliefert, wie man die Koeffizienten bestimmt. Zwei Beispiele für die Güte der Approximation mit zunehmender Gliederzahl findest du hier: http://bilderbuch.mathematik.uni-wuerzbu...men/fourier.htm Ein Anwendungsgebiet ist z.B. die Ermittlung der Summe von unendlichen Reihen, indem man für x einen bestimmten Wert einsetzt und das Ergebnis einmal aus der unendlichen Reihe und einmal aus der periodischen Ausgangsfunktion ermittelt. Weitere Anwendungen ergeben sich bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen, wo mit diesen Funktionen überhaupt erst die Egebnisse dargestellt werden können. |
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| 27.11.2004, 20:38 | Dummi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Super aber noch ne Frage Hey das war mal super erklärt, danke!! 
Nun haben wir auch recht oft die Foourierkoeffizienten benutzt und meist war ak=0 und bk=4 mal irgendeinem Integral oder andersrum. Warum ist das denn so? Wir haben den k-ten Fourierkoeffizienten definiert als Allerdings kann ich mit dieser Formel nichts weiter anfangen?! |
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| 27.11.2004, 20:41 | Dummi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| insbesondere... ... kann ich die Bildung der Fourierreihe auf dem o.a. Link auch nicht wirklich nachvollziehen: http://bilderbuch.mathematik.uni-wuerzbu...men/fourier.htm |
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| 27.11.2004, 21:25 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Super aber noch ne Frage
Schau dir mal den Graph der cos-Funktion an, das ist eine gerade Funktion, sie ist symmetrisch zur y-Achse. Daher haben alle Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, auch nur cos-Glieder in der Fourier-Reihenentwicklung. Das mit den sin-Funktionen kannst du dir jetzt selbst erklären. Zur Ermittlung der Fourier-Koeffizienten ck = ak + i*bk würde ich (immer) erstmal die Exponentialfunktion unter dem Integral in Real- und Imaginärteil trennen und getrennt nach sin und cos integrieren, und zwar über eine gesamte Periode von f(x), aber wenn du es anders gelernt hast ... Schau in einer besseren Formelsammlung für unendliche Reihen nach, dort sind meistens auch Beispiele für Fourier-Reihen, die du zur Übung mal nachrechnen könntest. Und der Link sollte auch nur verdeutlichen, wie die Ausgangsfunktion immer besser angenähert wird, je mehr Glieder der Reihe man nimmt. |
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