kugelschar

16.04.2007, 21:12	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ich habe ein großes Problem. Mein Lehrer meint Sachen aufgeben zu müssen von den man überhaupt nichts versteht. Wir haben monatelang Vektoren behandelt und plötzlich kommt etwas mit Kreisen. GEgeben sind eine Kugelschar K (a) und zwei Geraden g1 und g2: K(a): $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} -a \\ 2a \\ 0 \end{pmatrix} ]² = a² mit a > 0 \end{eqnarray}$ g1: $\begin{eqnarray} \vec{x} = t \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ g2: $\begin{eqnarray} \vec{x} = v \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Zeige dass die Geraden g1 und g2 Tangenten an jede Kugel K (a) sind! Ermittle die Berührpunkte B1 und B2! ich bin fast sicher dass es sich in 5 min zeigen lässt aber ich hab nun mal keine vorstellung wie ich an die aufgabe rangehen soll. Bitte um Hilfe
16.04.2007, 22:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Eine Gerade hat im Allgemeinen mit einer Kugel zwei Schnittpunkte einen Schnittpunkt keine Schnittpunkte Welcher Fall wird für eine Tangente eintreten? Setze den allgemeinen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ der Geraden in die Kugelgleichung ein und löse nach t! mY+
18.04.2007, 20:47	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
das hat sich jetzt erledigt nun hab ich aber wieder ein problem mit der nächsten teilaufgabe.... d) K(1) und K(2) seien zwei sich schneidende Kugeln. Ermittle eine Gleichung ihres Schnittkreises! Ich setzte die beiden Kugelscharen gleich: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ]² -1 = [\vec{x} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} ]² -4 \end{eqnarray}$ --> x²+2x+1+y²-4y+4+z²-1 = x²+4x+4+y²-8y+16+z²-4 --> -2x+4y-12=0 (Ebene in der unser Schnittkreis liegt) g(M1M2): $\begin{eqnarray} \vec{x} = r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> Schnittpunkt von Ebene und Gerade: -2(-r)+4(2r)-12=0 --> r= 6/5 --> $\begin{eqnarray} \vec{x}M = \begin{pmatrix} -6/5 \\ 12/5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit habe ich also den Mittelpunkt des gesuchten Kreises berechnet...nun soll ich ja noch den Radius bestimmen können und anschließend die Gleichung des Schnittkreises angeben...Mein Lehrer meinte, dass wir den Radius erstmal mit dem Satz von Pythagoras berechnen sollten. Jetzt habe ich mir eine Zeichnung gemacht und weiss nicht wie ich weitermachen soll. Meine Zeichnung ist 2D und es sind 2 Kugeln zu sehen, welchen sich schneiden. Durch ihre Mittelpunkte ist eine Gerade gezogen und eine weitere orthogonale durch ihre 2 gemeinsamen Schnittpunkte und damit also auch durch den Mittelpunkt des Schnittkreises. Das rechtwinkelige Dreick habe ich jetzt auch eingezeichnet wobei der 1 Punkt der Mittelpunkt des Schnittkreises ist, der 2Punkt der Mittelpunkt einer der beiden Kugeln ist und der 3Punkt der Schnittpunkt der beiden Kugeln. also meine beiden Fragen sind...wie komme ich auf den Radius des SChnittkreises und wie bestimmt man die Gleichung des SChnittkreises. Danke!
18.04.2007, 21:06	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich bin etwas weiter gekommen. Die eine Länge des Dreiecks haben wir ja gegebn, nämlich den Radius der Kugel. Das wäre dann 4 Und die zweite durch den Abstand zwischen Mittelpunkt der Kugel und Mittelpunkt des Schnittkreises. Dazu nehmen wir die ebene -2x+4y-12=0 in der unser Schnittkreis liegt und wenden hier die Hesseform an. dabei kommt raus dass wir die ebene durch $\begin{eqnarray} \sqrt{20} \end{eqnarray}$ teilen müssen wenn ich das richtig sehe. Ich bin verwirrt..ist das überhaupt der richitge ansatz? Aufjedenfall wird in meinem Schulbuch eine ähnliche Aufgabe auf diese Weise gelöst.
18.04.2007, 21:52	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
zunächst ist dein geradengleichung unfug, das ist eine gerade durch den ursprung, daher sind auch die koordinaten von M, dem mittelpunkt des schnittkreises, falsch(zur kontrolle: r = 0.2). wenn du M richtig berechnet hast, bekommst du dessen radius mit pythagoras: $\begin{eqnarray} r²=R_1²-\overline{M_1M}² \end{eqnarray}$ eine (parameterfreie) kreisgleichung gibt es in R3 nicht werner
19.04.2007, 08:18	truealex	Auf diesen Beitrag antworten »
DIese Aufgabe wurde in der Schule verglichen und die Werte sind alle richtig..
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19.04.2007, 09:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, habe es gerade kapiert, die gerade geht ja durch O(0/0/0). der rest steht eh oben. werner

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