konvergenz!

28.11.2004, 09:29

Locher

konvergenz!

Hallo!

Habe hier drei Reihen, bei denen ich nen Ansatz bräuchte um die Konvergenz und den Grenzwert zu bestimmen. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?

a.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n(2n-1)^2(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$

c.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^7+1} } \end{eqnarray*}$

Bitte nur den Ansatz, möchte versuchen das selber zu rechnen und dann hier wieder zur Kontrolle posten.

Danke schön!

28.11.2004, 10:04

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RE: konvergenz!
Konvergenznachweis ist leicht durch Majorantenvergleich mit Reihen vom Typ

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$

mit s>1.

Die Wertberechnung ist etwas kniffliger, auf Anhieb erkenne ich die Lösung nur bei a).

28.11.2004, 11:39

Locher

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Ok, jetzt habe ich mir foglendes überlegt:

zu a.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n(n+1)(n+2)}<\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n(n)(n)}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$
Somit habe ich eine Majorante gefunden und die Reihe konvergiert. Aber wie komme ich nun zum Grenzwert der Reihe?!

zu b.) Da habe ich immer noch keine Ahnung!

zu c.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{\sqrt{n^7+1}}>\sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^8}}= \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Womit ich eine Minorante gefunden hätte und die Reihe divergent ist.

Ist das so ok? Hat noch jemand ne Idee zu b.) ? Und wie komme ich auf den Grenzwert von a.) ?

Danke schön!

28.11.2004, 12:19

Leopold

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Zur Grenzwertberechnung würde ich bei a) Folgendes vorschlagen:

1. Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{...}{n} + \frac{...}{n+1} + \frac{...}{n+2} \end{eqnarray*}$

2. Zusammenfassen nach aufeinanderfolgenden Indizes ungerade/gerade gemäß folgendem Schema:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n = \sum_{n=1}^{\infty}~(a_{2n-1}+a_{2n}) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{...}{n} + \frac{...}{n+1} + \frac{...}{n+2} \end{eqnarray*}$

3. Die sechs Teilsummanden, die aus $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} + a_{2n} \end{eqnarray*}$ entstehen, können zu vier Summanden zusammengefaßt werden, zwei mit positivem, zwei mit negativem Vorzeichen, so daß alle Summanden Stammbrüche sind.

4. Zwei der vier Summanden heben sich mit zwei Summanden vom nächsten Index weg. Es ergibt sich eine wunderschöne rationale Zahl als Reihenwert.

Eine alternative Berechnungsmöglichkeit wäre der Ansatz mit einer analytischen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n(n+1)(n+2)} x^{n+2} \end{eqnarray*}$

Formale dreimalige Differentiation liefert

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \sum_{n=0}^{\infty}~x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Da die letzte Reihe den Konvergenzradius 1 hat, gilt das auch für die erste. Dreimalige Integration ergibt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{4} x^2 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (1-x)^2 \ln{(1-x)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Abelschen Grenzwertsatz verwenden.

Bei der zweiten Aufgabe könnte es ähnlich funktionieren.
Ob bei der dritten Aufgabe eine nichtnumerische Berechnung möglich ist, wage ich zu bezweifeln. Aber vielleicht kommt ja jemand auf den alles entscheidenden Trick.

28.11.2004, 12:20

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Zitat:

Original von Locher
zu c.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{\sqrt{n^7+1}}>\sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^8}}= \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Womit ich eine Minorante gefunden hätte und die Reihe divergent ist.

Rechenfehler:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^8}}= \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

so klappt's also nicht.

Zitat:

Original von Locher
Ist das so ok? Hat noch jemand ne Idee zu b.) ? Und wie komme ich auf den Grenzwert von a.) ?

Der Rest ist ok.

Zu a)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Zu b)

Könnte über Umweg Potenzreihe, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{x^{2n+1}}{n(2n-1)^2(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$

klappen, habe ich aber nicht nachgerechnet.

EDIT: Das mit c) sehe ich ähnlich wie Leopold.

28.11.2004, 12:28

Leopold

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Arthur Dents Lösung von a) erscheint mir etwas eleganter als der von mir vorgeschlagene Weg mit der vollständigen Partialbruchzerlegung.

28.11.2004, 14:23

Locher

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Hi!

Also den Grenzwert von a.) habe ich jetzt raus, der beträgt ein Viertel. Bei b.) komme ich gar nicht weiter mit dem Grenzwert und für c.) habe ich mir nun folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^7+1}}<\sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{\sqrt{n^7}}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{n^2}{n^{\frac{7}{2}}}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Da ich jetzt ne Majorante habe konvergiert die Reihe also. Aber auch hier wieder die Frage: Mit welchem Grenzwert?

Nochmals Danke!

28.11.2004, 14:35

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Wie ich schon sagte, bei c) sehe ich völlig schwarz, was die Wertermittlung betrifft.

Bei b) erhält man für

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=1}^\infty~\frac{x^{2n+1}}{n(2n-1)^2(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$

die dritte Ableitung

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x)=2\sum_{n=1}^\infty~\frac{x^{2n-2}}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{x+(x^2-1)\cdot\mathrm{artanh}(x)}{x^3} \end{eqnarray*}$

aber die dann nötige dreimalige Integration (um schließlich das gesuchte f(1) zu berechnen) kriege ich in geschlossenener Form nicht hin (vielleicht Leopold verwirrt

)

Mathematica berechnet als Reihensumme übrigens

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-2\ln 2 \end{eqnarray*}$ ,

aber da fehlt natürlich der Lösungsweg.

28.11.2004, 21:02

Leopold

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b) kann durch eine geschickte Reihenumordnung berechnet werden.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n (2n-1)^2 (2n+1)^2} = 2 \cdot \left( - \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} \right) + \frac{4n-1}{2(2n-1)^2} - \frac{4n+3}{2(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1}^{}~a_n \ = \ 2 \cdot \sum_{n \geq 1}^{}~\left( - \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} \right) + \sum_{n \geq 1}^{}~\left( \frac{4n-1}{2(2n-1)^2} - \frac{4n+3}{2(2n+1)^2} \right) = -2 \ln{2} + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

28.11.2004, 22:11

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@Leopold

Respekt!

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