Moduln Z4 x Z4

28.11.2004, 11:35

Krümel

Moduln Z4 x Z4

Hallöchen!!!
Weiß einfach nicht wie ich bei der folgenden Frage anfangen soll:

Für die Moduln Z4 x Z4 und Z4 (über dem Ring Z4) sei f: Z4 x Z4 > Z4
gegeben durch f (x1, x2) = x1 + x2.

a: Zeigen sie, dass f eine lineare Abbildung ist.
b: Wieviele Elemnte enthält ker f?
c: Ist f surjektiv?

Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen könnte.
DANKE
Gruß Krümel

28.11.2004, 14:19

Tobias

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Deine Abbildung ist linear, wenn sie homogen und additiv ist.

Zu zeigen wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f(a \cdot \vec{x}) = a \cdot f(\vec{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Kern}(f) \end{eqnarray*}$ beinhaltet alle Elemente $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} f(\vec{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ .

f ist surjektiv, wenn jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z}_4 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

28.11.2004, 17:57

Krümel

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Danke erstmal!!!

Über a muss ich etwas länger nachdenken verwirrt

.

Bei b ist mir irgendwie die Aufgabenstellung noch nicht so richtig klar.
Soll ich alle Elemente aus Z4 aufschreiben, also die 4^4 Möglichkeiten? oder verwechsle ich da grad was mit den Permutationen.

Bin einwenig durcheinander unglücklich

Bei c weiß ich auch nicht so wirklich wie ich anfangen soll.
Über einen Ansatz wäre ich sehr dankbar!!!
Krümel

04.12.2004, 16:34

Assal

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Hallo Krümel!

Brauchst du noch ein paar Tipps für diese Aufgabe?
wenn ja,...

Zitat:

ker f beinhaltet alle Elemente , für die gilt f (x) = 0.

Mithilfe der Additionstabelle für Z4 sieht man genau 4 Elemente, für die gilt: x1+x2 = 0

Ist der Grossen gefallen? Ansonsten sag bescheid,

schönes Wochenende, Assal

04.12.2004, 16:41

Assal

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Hallo Tobias!

ich hätte eine Idee für den letzten Aufgabenteil, kannst du mir sagen, ob es stimmt oder total falsch ist?

Zitat:

f ist surjektiv, wenn jedes x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z4 durch x1+x2 darstellbar ist.

Also:

x x1+x2

0 (0+0), (1+3), (2+2), (3+1)
1 (0+1), (1+0), (2+3), (3+2)
2 (0+2), (1+1), (2+0), (3+3)
3 (0+3), (1+2), (2+1), (3+0)

Falls richtig, gibt es eine Form, bei der ich die Aufgabe schöner schreiben könnte?
DANKE smile

04.12.2004, 18:12

merlin25

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Das stimmt, so habe ich das auch.

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