Integral von Winkelfunktionen

17.04.2007, 00:36

Nels

Integral von Winkelfunktionen

Hallo!!

Ich schaff es nicht meine Beispiele zu lösen, da ich nicht weiß, wie man die folgenden Winkelfunktionen richtig integriert:

$\begin{eqnarray*} \int sin^2x dx \end{eqnarray*}$
Lösung laut Derive: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}-\frac{sin(x)*cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int cos^2x dx \end{eqnarray*}$
Lösung laut Derive: $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)*cos(x)}{2}+\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Mache irgendetwas falsch, komme nie auf die richtige Lösung unglücklich

Welche Rechengesetze muss man denn anwenden?

Danke im Voraus.

17.04.2007, 06:34

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke du wirst hier den trig. Pythagoras brauchen:

$\begin{eqnarray*} 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \end{eqnarray*}$

Hilft dir das weiter? smile

air

17.04.2007, 07:14

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ könnte man auch Additionstheoreme verwenden und gemäß $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ umformen.

17.04.2007, 13:38

Nels

Auf diesen Beitrag antworten »

@Airblader hm ehrlichgesagt hilft mir das nur bei $\begin{eqnarray*} \int tan^2xdx \end{eqnarray*}$ weiter, nicht aber bei den anderen Winkelfunktionen unglücklich

Kann's zwar umformen, bringt mir aber irgendwie nix - oder übersehe ich da was?

@Lazarus wie man auf den Additionstheorem kommt ist mir zwar schleierhaft, aber ich glaube ich hab's jetzt smile

$\begin{eqnarray*} \int sin^2xdx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1-cos(2x)}{2}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}-\frac{sin(2x)}{4}+c \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} sin(2x)=2sin(x)cos(x): \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}-\frac{sin(x)*cos(x)}{2}+c \end{eqnarray*}$
richtig so?

17.04.2007, 13:47

ICEMAN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nels

@Lazarus wie man auf den Additionstheorem kommt ist mir zwar schleierhaft,

hi...

also meines wissens hat sich irgendwann mal ei schlauer mensch die überlegt und festgelegt. sicherlich kann man die sich herleiten aber das kommt nicht in der schulmathematik vor (jedenfalls wollte mein mathelehrer das bisher nicht von mir wissen).

die wichtigsten additionstheoreme findest du in deiner formelsammlung/ tafelwerk.

mfg jens

17.04.2007, 13:51

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt viele Wege darauf zu kommen, da sich ja die meisten Identitäten von Winkelfunktionen auseinander herleiten lassen.
Welcher Weg also zu dieser speziellen führt, hängt davon ab was man als gegeben betrachten kann. Ist nichts bekannt, muss man erst einen Umweg machen und einiges anderes herleiten.

17.04.2007, 13:52

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ICEMAN

Zitat:

Original von Nels

@Lazarus wie man auf den Additionstheorem kommt ist mir zwar schleierhaft,

"und festgelegt"

Ist wohl die falsche Formulierung, weil die einzige Festlegung war ja die Definition, alles weiter ergab sich daraus.

17.04.2007, 13:58

Nels

Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp das ist eben das Problem - wir dürfen keine Formelhefte verwenden. Und sich alle Grundintegralle für Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, Hyperbelfunktionen, Logarithmen, etc. zu merken ist bei der Menge einfach schwieriger als den Rechenschritt selbst zu erlenen. Denke aber, dass es in diesem Fall tatsächlich ratsamer ist den Additionstheorem einfach auswendig zu lernen.

17.04.2007, 14:00

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das is nicht so wild.

Wenn du dir $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ , dann fällt dir da sicher ein gewisses Parallelität auf oder ?

17.04.2007, 14:05

Nels

Auf diesen Beitrag antworten »

Jup schlimm isses eh nicht. Wäre nur eine Überlegung wert gewesen für den Fall, dass sich der Additionstheorem einfach herleiten lässt.

17.04.2007, 15:00

CosinusQuadrat

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Nels,
merke Dir nur: $\begin{eqnarray*} sin^{2}x + cos^{2}x =1 \end{eqnarray*}$
Jetzt noch: $\begin{eqnarray*} cos^{2}x =cosx*cosx \end{eqnarray*}$
und dann noch:
$\begin{eqnarray*} u(x)=sinx \hspace{10mm} u'(x)=cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=cosx \hspace{10mm} v'(x)=-sinx \end{eqnarray*}$

Folgendes habt ihr ja oft genug durchgekaut:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u'(x)*v(x)~dx = u(x)*v(x)-\int_{}^{}~u(x)*v'(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das gibt dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(x)*cos(x)~dx = sin(x)*cos(x)-\int_{}^{}~sin(x)*(-sin)(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos^2(x)~dx = sin(x)*cos(x)+\int_{}^{}~(1-cos^2)(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\int_{}^{}~cos^2(x)~dx = sin(x)*cos(x)+\int_{}^{}~1~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos^2(x)~dx = \frac{1}{2} (sin(x)*cos(x)+x ) \end{eqnarray*}$

17.04.2007, 15:14

Nels

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, tausend Dank!! smile

Neue Frage »

Antworten »

Integral von Winkelfunktionen

Verwandte Themen