hilfe bei erwartungswert und varianz

17.04.2007, 12:13

*isa*

hilfe bei erwartungswert und varianz

Hallo es geht um die geometrische verteilung
Kann mir bitte jemand helfen, wie man auf diese rechnungen kommt
$\begin{eqnarray*} F(k)=\operatorname{P}(X \le k) = p\sum_{i=1}^{k}q^{i-1} = p\sum_{i=0}^{k-1}q^{i} = p\frac{q^{k}-1}{q-1} = 1 - q^{k} = 1 - (1-p)^{k} \end{eqnarray*}$
hier vertehe ich die schritte nach dem summenzeichen nichtmehr

Beim erwartungswert
$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(X)=p\sum_{k=1}^{\infty}k\,(1-p)^{k-1} = p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}(1-p)}\sum_{k=1}^{\infty}\,(1-p)^{k} = - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\,(1-p)^{k} - 1 \right) = - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{p}-1\right) = \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$
hier verstehe ich leider den ansatz schon nicht

bei der varianz
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = p\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}(1-p)^{k-1} - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p\sum_{k=1}^{\infty}k(k+1)(1-p)^{k-1} - p\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1} - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k+1} + p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k} - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k} - (1-p) - 1\right) - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{1}{1-(1-p)} + p - 2\right) - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$
hier geht es mir ähnlich wie beim erwartungswert

kann mir jemand helfen ich wäre euch sehr dankbar, da ich echt schon viel zeit damit verbracht habe

17.04.2007, 17:58

sqrt4

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Du kennst aber schon die geometrische Reihe oder?

Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

17.04.2007, 18:01

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Zitat:

Original von *isa*
$\begin{eqnarray*} p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}(1-p)}\sum_{k=1}^{\infty}\,(1-p)^{k} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt ein starkes Stück: Ein Differential $\begin{eqnarray*} \dd (1-p) \end{eqnarray*}$ zu nennen trauen sich selbst Physiker nicht alle Tage, und die trauen sich in der Hinsicht schon ziemlich viel. Big Laugh

Ist nicht gegen dich persönlich gerichtet, du hast das ja vermutlich auch nur irgendwo abgeschrieben. Augenzwinkern

Ansonsten, was ist hier groß zu sagen: Hier wird exzessiv an allen Ecken und Enden die Partialsummenformel der geometrischen Reihe benutzt, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m-1} \lambda^i = \frac{1-\lambda^m}{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 1 \end{eqnarray*}$ und positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

17.04.2007, 18:56

*isa*

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ok danke erstmal
ja die erste Frage hab ich jetzt schon selber gelöst.
hab halt ein paar probleme mit den ganzen umformungen
werd mir morgen mal neue literatur besorgen und dann schaun wir mal

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