ellipsoid + tangentialraum |
| 29.11.2004, 01:34 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| ellipsoid + tangentialraum kann mir jeamnd nen paar tipps zu folgender aufgabe geben ? ? Gegeben ist das Ellipsoid Sei ein punkt in . Bestime den Tangentialraum an E(a,b,c) im punkt P als teilmenge von . ....ich kapiere irgendwie nicht ganz was dieser tangentialraum ist . . . die definition in mathebüchern ist (für mich) nicht besonders anschaulich . .. kann hier vielleicht ein "mathe-checker" licht ins dunkle bringen ? 
vielen dank im voraus für nen paar tipps . .. |
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| 29.11.2004, 10:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: ellipsoid + tangentialraum ich würde mal sagen der Tangentialraum ist die Ebene in R³, die den Ellipsoid in dem Punkt P berührt, das heißt, der Tangentialraum und der Ellipsoid haben nur den Punkt P gemeinsam |
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| 29.11.2004, 19:07 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit ich weiß ist der Tangentialraum folgendermaßen definiert: T = Kern df(a) ,wobei df das differential von f im punkt a ist. Bei dir ist a = P Wie man aber das differental bei dir berechnet weiß ich auch net so. |
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| 29.11.2004, 19:12 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aha . . . . .(aber in ?? . . . . . . .hmm. .. ne fläche an einen ellipsoid kann man sich ja noch vorstellen . . . .aber das . . .) . ..habs gerafft - natürlich in . . klammer ignorieren .. ^^ ...man muss also die ellipsengl irgendwie(partiell?) ableiten, um die "tangenten" zu bekommen und dann an den stellen p1 p2 p3 betrachten - oder ? . . oder nicht . . . .? . . .oder wie genau ? 
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| 29.11.2004, 20:58 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wie ich es verstande habe ist das differential so definiert: df = f´(x) dx In deinem Fall musst du das tu: f(p1,p2,p3) = a(p1)^2 +b(p2)^1+c(p3)^2 Dann musst du f´(x) bilden. Und das dürfte das sein: f´(p1,p2,p3) = [(df/dp1) ,(df/dp2), (df/dp3)] Dann hat man : df = [(df/dp1) ,(df/dp2), (df/dp3)] dx Kern df(x) = Kern [ [(df/dp1) ,(df/dp2), (df/dp3)] dx] = Tangentialraum hmmmm aber bin mir echt nicht sicher! Was sagst du dazu? Ich meine was soll das dx ??? Wie kriegt man es weg??? 
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| 29.11.2004, 21:27 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
....hmmm. .. ausgehend von der überlegung, dass der tangentialraum alle tangenten in diesem pkt. - und womöglich in allen richtungen - enthalten muss, frage ich mich, ob man df nich durch partielle ableitungen bach x,y und z bilden sollte, nämlich df=[df/dx,df/dy,df/dz] und dann P=(p1,p2,p3) einsetzen sollte . . .. . . . ...ausserdem hab ich so meine probleme mit dem "Kern" . .. ^^ (was war das nochmal/wie berechnet man sowas?) 
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| 29.11.2004, 21:33 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist egal. x oder p1 usw Kern f = { x elemnt R | f(x) = 0} Aber ich bin mir nicht mal sicher ob man das mit den Partiellen Ableitungen einfach so machen kann. |
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| 29.11.2004, 21:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tipp: Stelle E(a,b,c) als Niveaumenge einer Funktion f dar (also E(a,b,c) = {(x,y,z) : f(x,y,z) = c}). Dann steht der Gradient von f im Punkt P senkrecht auf der Tangentialebene. |
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| 30.11.2004, 15:22 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@helios: ...ähh du hast recht . .. .ich hab nochmal das gleiche hingeschrieben . . . aber ich frage mich auch, was das dx soll . . . ....ich fasse mal zusammen: man muss den gradienten von f=ax^2+by^2+cz^2 bilden und die koordinaten des punktes P einsetzen. . .. dieser vektor steht senkrecht auf der tangentialebene im punkt P . . . ich verstehe nur nicht, wie man davon auf die tangentialebene kommt . . .
...mein gradient ist grad (f) = (2ax,2by,2bz) ...stimmt das überhaupt? .. oder wie verarbeite ich das "+1" in der ellipsoid-gleichung . .. wenn ich doch diese zahl variiere erhalte ich doch verschiedene "niveaus" . . . hmhmhm
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| 30.11.2004, 15:37 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmmmm der ansatz mit der partiellen differentation ist so nicht richtig von mir dargestellt. Man muss das Differential der funktion im punkt p bilden und das ist so definiert: df(x1,......xn) = Summe [(df/dxi) dx] Das dx ist wohl der vektor v. So das nach der definition : T=kern df(p) das hier dabei rauskommen müsste: T = {v elemnt R^3| a*p1*v1 + b*p2*v2 + c*p3*v3 = 0} Müsste eigentlich die lösung sein. |
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| 30.11.2004, 16:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Schnitzelchen: Man muss unterscheiden zwischen Tangentialebene und Tangentialraum. Der Tangentialraum ist parallel zur Tangentialebene und der Ursprung ist ein Punkt des Tangentialraums. Der Tangentialraum ist also die Ebene, die den Ursprung enthält und auf der grad f(P) senkrecht steht. Hessesche Normalform --> fertig. |
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| 30.11.2004, 17:01 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Webfritzi Dann müsste doch meine Lösung dementsprechen falsch sein. Hmmm auserdem sehe ich keinen zusammenhang zwischen Hess-Normalform und T= Kern df(a) |
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| 30.11.2004, 17:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ist sie nicht.
Dan denk nochmal drüber nach... |
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| 01.12.2004, 12:10 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
...hmm. . .dann sind also alle v aus der ebene zu der (p1,p2,p3) senkrecht steht. . . .oder ? hesse-normalform sagt doch aus: V * P =d = abstand der ebene vom ursprung . . . mit P = normale auf der ebene.. . . ich frage mich nur, wo der faktor 2 hin ist (vom ableiten der quadrate.. . )
stummt das alles ? oder hab ich was verpeilt ?. . . |
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| 01.12.2004, 23:00 | Helios | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Faktor zwei wurde ausgeklammert und weggekürzt. Denn 0/2 = 0 
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| 02.12.2004, 02:26 | schnitzelchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
klaR!!...hab ich mir schon gedacht. . 
THX!! |
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