Periodische Funktion

17.04.2007, 16:56

SilverBullet

Periodische Funktion

Hi @ all hab hier ne Aufgabe die ich nicht verstehe. Soll angeblich sehr einfach sein aber irgendwie fehlt mir da was ?!

Wäre super wenn mir da jemand zeigen kann wie ich vorgehen soll und unter welches Stichworten ich zu der Aufgabe was in Wiki finde. Periodische Funktionen und Regelfunktion hat mir leider nicht geholfen in Wiki.

Aufgabe :
Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine periodische Funktion mit periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f\mid_{[-\pi,\pi]} \end{eqnarray*}$ Regelfunktion ist. Zeigen sie :
Für jedes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} f\mid_{[a-\pi,a+\pi]} \end{eqnarray*}$ eine Regelfunktion, und es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{a-\pi}^{a+\pi}~f(t)~dt = \int_{-\pi}^{\pi}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

17.04.2007, 17:17

Lazarus

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Wie wäre es denn damit: Zwei Regelfunktionen die bis auf maximal abzählbar vielen Stellen übereinstimmen besitzen das gleiche Integral.
Mit linearer Substitution (=Verschiebung) könntest du deine beiden Regelfunktionen zu solchen machen...

17.04.2007, 17:32

SilverBullet

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RE: Peridische Funktion
Hmm naja ich weiß nicht so recht hab das noch nicht gehört (entweder war es in Analysis I nach der Klausur) oder aber es muss auch anders möglich sein.
Wir machen gerade FourierReihen und damit auch Fourier Koeffizienten.

Hab eigentlich gedacht es müsste da doch was geben aber ich habe eigentlich nur einen verdächtigen Punkt im Skript gefunden, dort steht :

.... f: R -> C $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodisch also $\begin{eqnarray*} f(x+2\pi) = f(x) \end{eqnarray*}$ für alle x aus R

Hatte die starke Hoffnung das ich damit was anfangen kann ?!

17.04.2007, 17:48

SilverBullet

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Ahh jetzt hab ich vielleicht was gefunden. Zu Begin des Themas haben wir folgendes geschrieben :

Zitat:

Eine Funktion f heißt perodisch mit Periode L > 0, wenn f(x+L) = f(x) für alle x aus IR.

o.E. $\begin{eqnarray*} L = 2\pi, F(x) :=f(\frac L {2\pi} x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x+2\pi) = f(\frac L {2\pi} (x+2\pi)) = f(\frac L {2\pi} x + L) =F(x) \end{eqnarray*}$

Hier soll F(x) doch anscheinend die Stammfunktion sein oder nicht ? Wenn ja dann kann ich doch genau das hier irgendwie anwenden oder ?

17.04.2007, 23:42

SilverBullet

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*push* *need help*

18.04.2007, 14:58

Sly

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Oha, noch ein Münsteraner Wink

Aaaalso...nö, F ist nicht die Stammfunktion, das zielt nur drauf ab, dass jede periodische Funktion auf eine 2pi-periodische Funktion abstrahiert werden kann.

So wie ich es gemacht habe:

Wegen $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+2n\pi) \end{eqnarray*}$ für alle ganzzahligen n folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} f|_{[2n\pi-pi,2n\pi+\pi]} \end{eqnarray*}$ Regelfunktion sind für ganzzahlige n.

Da somit auch die Einschränkung auf Vereinigungen solcher Intervalle eine Regelfunktion darstellt, suche dir ein Intervall der Form $\begin{eqnarray*} I= [m\pi,(m+4)\pi] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} [a-\pi,a+\pi] \subset I \end{eqnarray*}$

Also kannst du auch über a-pi bis a+pi integrieren.
Damit ich nicht ermahnt werde, dass ich dir die Lösung verrate, sei nur soviel gesagt: Guck dir das Integral von m*pi bis (m+4)*pi an und splitte es so auf, dass dein integral von a-pi bis a+pi drinsteckt...dann ein bisschen überlegen und dann folgt die behauptung Augenzwinkern

18.04.2007, 17:20

SilverBullet

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Also ersteinmal danke für die Antwort smile

Habe das jetzt mal so irgendwie probiert allerdings verstehe ich es noch nicht ganz ich probier es mal...

Also

Zitat:

Wegen $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+2n\pi) \end{eqnarray*}$ für alle ganzzahligen n folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} f|_{[2n\pi-pi,2n\pi+\pi]} \end{eqnarray*}$ Regelfunktion sind für ganzzahlige n.

das heißt wenn ich zeige, dass ich mit $\begin{eqnarray*} f|_{[2n\pi-pi,2n\pi+\pi]} \end{eqnarray*}$ auch meine Funktion erreiche, diese auch eine Regelfunktion ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I= [m\pi,(m+4)\pi] \end{eqnarray*}$

Ist das m hier aus R ?

Kann ich das dann so machen :

Setze $\begin{eqnarray*} m = (\frac a \pi -1) \end{eqnarray*}$
und damit folgt dann :

$\begin{eqnarray*} I= [m\pi,(m+4)\pi] \Leftrightarrow [a-\pi, a+3\pi] \end{eqnarray*}$

damit ist also $\begin{eqnarray*} [a-\pi,a+\pi] \subset I \end{eqnarray*}$

Stimmt das bisher ?
Wie folgt daraus die Beh ? Und warum sind die Integrale denn gleich ?

18.04.2007, 22:02

Sly

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Nein nein, das m muss schon ganzzahlig sein...genauer gesagt war ich etwas zu ungenau. Eigentlich muss es ein gerades m geben, sodass $\begin{eqnarray*} I = [(m-1)\pi,(m+3)\pi] \end{eqnarray*}$

Und so ein m mit den passenden eigenschaften musst du dir basteln...

und nein, da folgt erstmal garnichts...wie ich gesagt habe, du musst das integral von (m-1)pi bis (m+3)pi betrachten und das so aufplitten, dass du dein integral mit den grenzen a-pi und a+pi drinhast...und dann wirst du sehen, wie du noch weitermachen musst.

18.04.2007, 22:50

SilverBullet

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Oje also das wird wohl nun nix mehr ich warte einfach auf die Lösung in der Gruppe denn irgendwie blick ich da nicht durch

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