absolute konvergenz

17.04.2007, 21:33	dragonmike	Auf diesen Beitrag antworten »
absolute konvergenz Sei a_k eine komplexe Folge. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~\mid a_k \mid \end{eqnarray}$ konvergent $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty ~a_k \end{eqnarray}$ konvergent. Warum gilt das? Welchen Beweis aus dem reellen kann man hier direkt übertragen? Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wieso das gilt. MFG dragonmik EDIT von Calvin LaTeX korrigiert
17.04.2007, 21:45	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolute konvergenz Kannst du zB Real- und Imaginärteil getrennt betrachten ? Grüße Abakus
17.04.2007, 22:08	dragonmike	Auf diesen Beitrag antworten »
so richtig auf eine idee gebracht hat mich deine antwort nicht.. weiss leider auch nicht mehr den reellen beweis...ist schon etwas länger her..
17.04.2007, 22:15	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche deine komplexe Folge einmal in Real- und Imaginärteil aufzusplitten. Kannst du was über diese Folgen aussagen bzw. damit arbeiten ? Grüße Abakus
17.04.2007, 22:37	dragonmike	Auf diesen Beitrag antworten »
hm genau weiss ich das nicht, denke aber das der die realteil-reihe absolut konvergent ist und die imaginärteil-reihe absolut konvegent ist.... aus dem reellen fall, folgt dann das die realteil-reihe und imaginärteil reihe konvergiert... nur müsste ich das zeigen, das man das in imaginär und real-teil splitten darf und nachher wieder zusammensetzen... MFG dragonmike
18.04.2007, 14:15	mikedragon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Folgende Äquivalenz konnte ich zeigen $\begin{eqnarray} (i) z_n \end{eqnarray}$ konvergiert gegen z $\begin{eqnarray} (ii) Re (z_n) \end{eqnarray}$ gegen Re(z) und Im(z_n) gegen Im(z) zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~\|a_k\| \end{eqnarray}$ konvergent => $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~a_k \end{eqnarray}$ konvergent. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~a_k = S <=> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k) = Re(S) und \sum_{k=0}^\infty ~Im(a_k) = Im(S) \end{eqnarray}$ (nach obigen satz, da man reihen als folgen auffassen kann) bzw. es gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~a_k = \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k) +\sum_{k=0}^\infty ~iIm(a_k) \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} 0 \leq \|Im(a_k)\| , \|Re(a_k)\| \leq \|a_k\| \end{eqnarray}$ für alle k (insbesondere sind die glieder \|Im(a_k)\| , \|Re(a_k)\| bzw \|z\| alle reell) im reellen kennt man das majorantenkriterium: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k) und \sum_{k=0}^\infty ~Im(a_k) \end{eqnarray}$ konvergieren absolut. => $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k) und \sum_{k=0}^\infty ~Im(a_k) \end{eqnarray}$ konvergieren. (da wir reelle reihen haben) Sei $\begin{eqnarray} s_1 = \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_2 = \sum_{k=0}^\infty ~Im(a_k) \end{eqnarray}$ dann konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~a_k \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} s_1 +is_2 \end{eqnarray}$ hoffe mir kann jemand meine ausarbeitung bestätigen. MFG dragonmike
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19.04.2007, 00:33	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolute konvergenz Ja, richtig. Du hast also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~\mid a_k \mid \end{eqnarray}$ konvergent $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty ~\mid Re(a_k) \mid,~~ \sum_{k=0}^\infty ~\mid Im(a_k) \mid \end{eqnarray}$ konvergent (nach Majorantenkriterium) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty ~Re(a_k),~~ \sum_{k=0}^\infty ~Im(a_k) \end{eqnarray}$ konvergent $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty ~a_k \end{eqnarray}$ konvergent. Grüße Abakus

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