schnittpunkt von drei kreisen in der ebene

29.11.2004, 17:01	kreisfrage	Auf diesen Beitrag antworten »
schnittpunkt von drei kreisen in der ebene ich hab die mittelpunkte und radien von drei kreisen (also x1,y1,r1,x2,y2,r2,x3,y3,r3) und es steht fest, dass es zwischen diesen genau einen schnittpunkt (x,y) gibt. um das ganze erstmal einfach anzugehen habe ich versucht die zwei schnittpunkte der ersten beiden kreise zu berechnen aber selbst das habe ich nicht hingekriegt. das problem liegt darin, dass ich irgendwie immer auf ein x in abhängigkeit von y komme und dieses durch einsetzen eines y in abhängigkeit von x dann nicht lösen kann. ich habe auch schon versucht, die kreise so zu verschieben, dass einer der beiden im ursprung liegt und hatte dann zwei gleichungen, die ich voneinander abgezogen habe: ergebnis war eine gleichung mit unbekanntem x und y was natürlich auch nicht funktionieren kann... irgendwie komme ich bei dem problem überhaupt nicht weiter. wäre nett, wenn mir irgendjemand mit einem ansatz helfen könnte. danke im voraus
29.11.2004, 17:37	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schnittpunkt von drei kreisen in der ebene $\begin{eqnarray} k_1: (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2: (x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_3: (x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r_3^2 \end{eqnarray}$ nehmen wir nun $\begin{eqnarray} k_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ her und lösen die Klammern auf: $\begin{eqnarray} k_1: x^2-2\cdot x \cdot x_1 +x_1^2+y^2-2\cdot y \cdot y_1+y_1^2=r_1^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2: x^2-2\cdot x \cdot x_2 +x_2^2+y^2-2\cdot y \cdot y_2+y_2^2=r_2^2 \end{eqnarray}$ subtrahieren die beiden Gleichungen: $\begin{eqnarray} -2\cdot x \cdot x_1+2\cdot x\cdot x_2 +x_1^2-x_2^2-2\cdot y \cdot y_1+2\cdot y \cdot y_2+y_1^2-y_2^2=r_1^2-r_2^2 \end{eqnarray}$ ausklammern $\begin{eqnarray} 2\cdot x\cdot (x_2-x_1) + 2\cdot y\cdot (y_2-y_1) + (x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2)=r_1^2-r_2^2 \end{eqnarray}$ z.B x ausdrücken $\begin{eqnarray} x=\frac {r_1^2-r_2^2 -2\cdot y\cdot (y_2-y_1) - (x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2)}{2\cdot (x_2-x_1)} \end{eqnarray}$ das dann in $\begin{eqnarray} k_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ einsetzen => quadratische Gleichung in y. Verzeih, aber zum eintippen ist mir das nun zu mühsam. Prinzip müsste klar sein, wenn du für die Mittelpunkte und Radien konkrete Zahlen hast, gehts sicher "einfacher".
29.11.2004, 20:12	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schnittpunkt von drei kreisen in der ebene drei Kreise in der Ebene und genau ein Schnittpunkt lol . ok, es gibt ne Art 'halbtriviale Lösung' wenn mans mit Schnittpunkt nicht so genau nimmt. Sei r1<r2<r3 k1 liegt innerhalb von k2 oder k3, oder k1 liegt innerhalb von k2 und k2 innerhalb von k3 mit {(xn\|yn), n=1,2,3} c Gerade g

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