Konvergiert / Divergiert

29.11.2004, 18:36

CiveX

Konvergiert / Divergiert

Hallo,

ich habe ein derbes Verständnissproblem bezüglich "Konvergiert" und "Divergiert".

Eine Konvergenz bedeutet die Existentz eines Grenzwertes, das habe ich verstanden.

Ich verstehe aber nicht die verwendung der Wörter "konvergiert" und "divergiert".

Ich habe bisher immer nur gelernt, xyz geht gegen xyz.

Beispiel:

lim (x->0) 1/x , ich habe es immer so gelernt: x geht gegen 0, daraus folgt dass 1 / x unendlich ist.

lim (x->unendlich) 1/x, hier hätte ich gesagt x geht gegen unendlich, daraus folgt dass 1/x = 1/unendlich ist, und somit ist es 0.

Nur meine Frage was verwende ich wo und wie mit den "konvergiert" und "divergiert"?

Für jede Hilfe bin ich dankbar unglücklich

,
CiveX

29.11.2004, 18:43

therisen

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RE: Konvergiert / Divergiert...ich pack's net :(
Anscheinend fehlt dir völlig der Einstieg zu diesem Thema, daher ist mein Beitrag im folgenden mathematisch nicht exakt, dafür anschaulich formuliert:

Zitat:

Original von CiveX
lim (x->0) 1/x , ich habe es immer so gelernt: x geht gegen 0, daraus folgt dass 1 / x = 1/0 ist, somit ist es 0.

Nein! Der Nenner darf nie Null sein, daher auch der Limes (strebt gegen Null). Was passiert denn, wenn du für x z.B. 0,00001 einsetzt? Was bei 0,000000001? Die Werte werden immer größer => divergiert gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von CiveX
lim (x->unendlich) 1/x, hier hätte ich gesagt x geht gegen unendlich, daraus folgt dass 1/x = 1/unendlich ist, und somit ist es unendlich.

Nein! Was passiert denn, wenn du 1 durch eine seeeehr große Zahl teilst? Das Ergebnis wird immer kleiner... Also strebt der Grenzwert gegen Null.

EDIT: Verschoben nach Analysis.

Gruß, therisen

29.11.2004, 19:10

CiveX

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äähh...sorry, das ist mir total peinlich. Ich habe beides vertauscht. Logisch, dass wenn der Nenner gegen 0 geht, der Zähler immer größer wird, und umgekehrt. 1. Post editiert, dementsprechend smile

!

"Kleiner" Flüchtigkeitsfehler von mir smile

.

Nach deinem Beitrag habe ich das so verstanden:

lim (x->0) 1/x -> Werte divergieren gegen ( = gehen gegen) unendlich.

Was ist nun konvergieren? Ich nehme an "gehe gegen 0"?

lim (x->unendlich) 1/x -> Werte konvergieren gegen 0?

CiveX

29.11.2004, 19:28

Calvin

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Zitat:

Original von CiveX
lim (x->0) 1/x -> Werte divergieren gegen ( = gehen gegen) unendlich.

Das ist so nicht korrekt ausgedrückt. Wenn eine Funktion "gegen unendlich geht", so existiert der Grenzwert nicht. Das ist eine andere Ausdrucksweise für "die Funktion divergiert". Eine andere Formulierung wäre "sie wächst über alle Schranken". Ein Beispiel ist die Funktion f(x)=x^2 für x->oo

Wenn ein Grenzwert existiert, so konvergiert die Funktion gegen den Grenzwert. Die Funktion f(x)=1/x konvergiert also für x->oo und zwar gegen 0.

Und noch eine Kleinigkeit: das saloppe $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}x^2=\infty \end{eqnarray*}$ ist so nicht korrekt. Richtig muß es heißen, dass der Grenzwert nicht existiert.

29.11.2004, 19:37

CiveX

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Hilfe...ich versuche es irgendwie zu kapieren... unglücklich

...

a) Also wenn eine Funktion gegen 0 geht (bei 1/x), dann konvergiert sie.
b) Wenn sie gegen unendlich geht, dann divergiert sie.

zu a)

Zitat:

Wenn ein Grenzwert existiert, so konvergiert die Funktion gegen den Grenzwert.

Also nehmen wir an: lim (x->4) 1/x => Die Funktion konvergiert gegen 4, da 4 der Grenzwert ist, oder die Funktion konvergiert gegen "das Ergebniss das rauskommt, wenn man x immer näher an die 4 bring"?

Irgendwie kann ich das nicht verstehen...vielleicht hat einer ein anschaulicheres Beispiel...oder so....

Sorry Leute, wenn ich euch zu Verzweiflung treibe, aber ich versuche es ehrlich zu verstehen. Es ist nicht so, dass ich sage: "Scheiß was drauf!".

29.11.2004, 19:56

Calvin

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Zitat:

Original von CiveX
a) Also wenn eine Funktion gegen 0 geht (bei 1/x), dann konvergiert sie.

Jein. Die Funktion muß nicht unbedingt gegen 0 konvergieren. Es reicht, wenn der Grenzwert existiert. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert für x->oo z.B. gegen 1.

Aber es ist richtig, dass eine Funktion divergiert, wenn sie gegen unendlich geht.
b) Wenn sie gegen unendlich geht, dann divergiert sie.

Zitat:

Ob man auch von konvergieren spricht, wenn man den Grenzwert gegen eine bestimmte Stelle betrachtet, bin ich mir nicht sicher. Mein Bauch sagt mir, dass es so ist, aber das müßte noch jemand bestätigen Augenzwinkern

Auf alle Fälle spricht man von konvergieren, wenn man den $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty} \end{eqnarray*}$ betrachtet und dieser Grenzwert existiert.

Beispiele:
$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 1 für x->oo
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ divergiert für x->oo

Und für dich zur Übung: Konvergieren die folgenden Funktionen für x->oo?
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x+1} \end{eqnarray*}$

29.11.2004, 19:57

therisen

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Zitat:

Original von CiveX
Also nehmen wir an: lim (x->4) 1/x => Die Funktion konvergiert gegen 4, da 4 der Grenzwert ist, oder die Funktion konvergiert gegen "das Ergebniss das rauskommt, wenn man x immer näher an die 4 bring"?

Es ist "das Ergebniss das rauskommt, wenn man x immer näher an die 4 bring", also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

29.11.2004, 21:32

CiveX

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ln x = nein, da ln x = ln oo = oo ist für x->oo
1/Sqr(x)= ja, da 1/Sqr(oo) = 1/oo = 0 ist für x->oo
x/x+1 = ja, da x/x+1 = oo/oo+1 = oo/oo = 1 für x->oo
x²/x+1 = nein, da x²/x+1 = oo²/oo+1 = oo²/oo = oo für x->oo

29.11.2004, 21:44

Calvin

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Zitat:

Original von CiveX
ln x = nein, da ln x = ln oo = oo ist für x->oo
1/Sqr(x)= ja, da 1/Sqr(oo) = 1/oo = 0 ist für x->oo
x/x+1 = ja, da x/x+1 = oo/oo+1 = oo/oo = 1 für x->oo
x²/x+1 = nein, da x²/x+1 = oo²/oo+1 = oo²/oo = oo für x->oo

Die endgültigen Ergebnisse sind soweit korrekt. Und da es ja um die Begriffe konvergent und divergent geht, könnte man das noch in Worten dazufügen.

ABER: Das Rechne mit oo ist sehr gefährlich und sollte so nicht gemacht werden. oo/oo=1 ist nämlich nicht immer der Fall. Gegenbeispiel wäre $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{e^x} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion konvergiert z.B. gegen 0 für x->oo.

Versuche es mit Grenzwertberechnung (nicht nur auf das letzte Beispiel bezogen). Da gibt es verschiedene Varianten, wie man diesen korrekt bestimmt (z.B. Polynomdivision, L'Hospital, Ausklammern und kürzen,usw.)

30.11.2004, 08:19

CiveX

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Zitat:

Original von CiveX
Die endgültigen Ergebnisse sind soweit korrekt. Und da es ja um die Begriffe konvergent und divergent geht, könnte man das noch in Worten dazufügen.

1) ln x ist divergent für x->oo
2) 1/sqr(x) konvergent (gegen 0?) für x->oo
3) x/x+1 konvergent (gegen 1?) für x->oo
4) x²/x+1 divergent für x->oo

jo, kA, wie man das Mathematisch korrekt ausdrücken soll...daran versuche ich mich derzeit zu gewöhnen...ist nicht so einfach wenn man vom Abi íns Hö-Ma kommt und dann nur Fachsprache nutzt..

Aber danke Leute, dass ihr mir geholfen habt smile

30.11.2004, 21:13

Mathespezialschüler

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RE: Konvergiert / Divergiert...ich pack's net :(

Zitat:

Original von therisen
Also strebt der Grenzwert gegen Null.

Das is ein leider oft gemachter Fehler, ein Grenzwert ist ein Wert, der kann nicht streben. Das ist doppelt gemoppelt und völlig falsch unglücklich

Der Grenzwert ist 0 oder die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen 0 Augenzwinkern

30.11.2004, 21:18

therisen

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@MSS: Sorry, stimmt natürlich! Vor lauter Aufpassen, dass man sich schön umgangssprachlich und verständlich ausdrückt passieren dann solche Ungenauigkeiten unglücklich

Beim nächsten mal gibt's wieder Latex-Notationen hingeknallt Big Laugh

30.11.2004, 21:29

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Leute, jeder weiß wohl, was gemeint ist, wenn er von einem strebenden Grenzwert spricht, aber danke für die Definition. fröhlich

warum habe ich von diesen Begriffen noch nichts gehört, kenne aber deren Definition verwirrt

.....egal, was solls

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