Definitions und Wertebereich

29.11.2004, 19:00

sandy 84

Definitions und Wertebereich

hallo mathefreaks.....

könnt ihr mir sagen wie ich Definitions und Wertebereich einer Funktion bestimme kann ?!?!?!?!

z.b. f(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4-3x^3} \end{eqnarray*}$

und

f(x) = $\begin{eqnarray*} ln \frac{x^2-3x+2}{x+1} \end{eqnarray*}$

29.11.2004, 19:04

Julia3356

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Also bei dem oberen würde ich sagen, dass man ausprobieren muss, welche Zahlen man einsetzen muss, um noch eine positive Zahl unter der Wurzel stehen zu haben.

Bei der unteren hab ich leider keine Ahnung, sorry! smile

Bin mir bei dem oberen auch nicht ganz sicher ehrlich gesagt! verwirrt

29.11.2004, 19:05

Bier17

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Definitionsbereich: Hiermit sind die Werte gemeint, die man einsetzen darf.

Wertebereich: Die Werte, die die Funktion annehmen kann.

Ist zwar sehr salopp formuliert dürfte aber stimmen oder?

29.11.2004, 19:11

sandy 84

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Definitions und Wertebereich
also bei d. ersten Aufgabe ist für x=0 und x>=3 ---> die Wurzel positiv (bzw gleich null )

und was ist dann der Wertebereich ?????

29.11.2004, 19:16

Julia3356

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Der Wertebereich müsste die Menge R sein, weil bei ner Wurzel ja immer sowohl positive als auch negative Werte rauskommen können, oder?

29.11.2004, 19:20

sandy 84

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Definitions und Wertebereich
ja, aber dann wäre es ja bei jeder funktion W = R.............oder ????

29.11.2004, 19:31

Julia3356

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Nein, es gibt ja auch Funktionen, die nur positive Werte annehmen können, wie zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

Werte sind ja die y-Werte und es gibt ja Funktionen, die nur im ersten und zweiten Quadranten verlaufen.

29.11.2004, 19:35

para

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Zitat:

Original von Julia3356
Der Wertebereich müsste die Menge R sein, weil bei ner Wurzel ja immer sowohl positive als auch negative Werte rauskommen können, oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt x=y \end{eqnarray*}$ gibt definiert immer ein positives y zurück. Was anderes ist es, wenn du die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2=x \end{eqnarray*}$ betrachtest, und y ermitteln willst.

29.11.2004, 19:45

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich

Zitat:

Original von sandy 84
also bei d. ersten Aufgabe ist für x=0 und x>=3 ---> die Wurzel positiv (bzw gleich null )

und was ist dann der Wertebereich ?????

Der Definitionsbereich hier ist noch nicht ganz komplett.

Für Aufgabe 1) Wie schon mehrfach hier erwähnt darf unter der Wurzel nichts negatives stehen. Deshalb mußt du alle x bestimmen, für die x^4 - 3x^3 > 0 ist.

Bei Aufgabe 2) dürfen innerhalb des ln nur positive Zahlen stehen.

29.11.2004, 20:03

sandy 84

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RE: Definitions und Wertebereich
also ich denke bei der ersten aufgabe habe ich alle x-werte bestimmt :

x=0 und x >= 3

ist bei der zweiten Aufgabe der Wertebereich R+ ?????

29.11.2004, 20:11

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich

Zitat:

Original von sandy 84
also ich denke bei der ersten aufgabe habe ich alle x-werte bestimmt :

x=0 und x >= 3

Was ist denn z.B. mit x=-1?

Beim Wertebereich der zweiten Funktion bin ich immer noch am grübeln, wie ich es verständlich formuliere Augenzwinkern

29.11.2004, 20:21

sandy 84

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RE: Definitions und Wertebereich
ja du hast recht $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ ist ja immer positiv !!!

kann man das auch ausrechnen ????

ich habe den Term $\begin{eqnarray*} x^{4} - 3x \end{eqnarray*}$ = 0

....es kommt dann x = 0 und x>=3 und wie komme
ich dann auf [0 , - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ]

29.11.2004, 20:24

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich

Zitat:

Original von Calvin
Beim Wertebereich der zweiten Funktion bin ich immer noch am grübeln, wie ich es verständlich formuliere Augenzwinkern

So, jetzt zitiere ich mich mal selbst Augenzwinkern

Editieren lasse ich bleiben, weil mein letztes Posting schon ein paar Minuten zurückliegt.

Zunächst mal die Frage nach dem Definitionsbereich. Hast du den schon? Beim Logaritmus dürfen ja bekanntlich nur positive Zahlen eingesetzt werden.

Die Funktion innerhalb des ln, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-3x+2}{x+1} \end{eqnarray*}$ nimmt alle möglichen positiven Zahlen an. Wenn dir das unklar ist, dann frage nach oder lasse dir die Funktion zeichnen. Somit werden in den ln alle positiven Zahlen eingesetzt und es ergibt sich der gleiche Wertebereich wie bei der normalen Funktion ln(x). Weißt du welche Werte diese Funktion annehmen kann?

Ich hoffe, ich habe das einigermaßen verständlich erklären können.

Bei der ersten Funktion kannst du übrigens genauso rangehen. Erstmal schauen, welche Werte die Funktion innerhalb der Wurzel annehmen kann und dir dann überlegen, was das für die Wurzelfunktion bedeutet.

29.11.2004, 20:33

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich

Zitat:

Original von sandy 84
ja du hast recht $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ ist ja immer positiv !!!

kann man das auch ausrechnen ????

ich habe den Term $\begin{eqnarray*} x^{4} - 3x \end{eqnarray*}$ = 0

....es kommt dann x = 0 und x>=3 und wie komme
ich dann auf [0 , - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ]

Zunächst eine Frage: ist die innere Funktion x^4-3x oder x^4-3x^3? Es steht nämlich jetzt beides hier Augenzwinkern

Ich gehe mal von x^4-3x^3 aus. Dann kannst du zunächst ausklammern zu x^3(x-3)

Da du in die Wurzelfunktion nur positive Werte einsetzen darfst, mußt solltest du zunächst mal die Nullstellen von x^3(x-3) bestimmen. Diese sind leicht abzulesen. Nun ist entweder innerhalb oder außerhalb der beiden Nullstellen die Kurve im positiven Bereich. Was von beidem zutrifft kannst du durch simples Einsetzen eines bestimmten x-Wertes rauskriegen. In diesem Fall ist es der Bereich außerhalb der Nullstellen.

Für den Wertebereich habe ich in meinem letzten Posting noch was geschrieben. Im Falle der ersten Aufgabe ist es so, dass die Wurzelfunktion nur positive Werte ergibt. Da die Funktion innerhalb der Wurzel alle möglichen positiven Zahlen (inkl. 0) annimmt, ist der Wertebereich der gegebenen Funktion identisch mit dem Wertebereich von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Und dieser Wertebereich sind alle positiven reellen Zahlen (inkl. 0)

Beim Erklären des Wertebereichs tue ich mich etwas schwer. Aber vielleicht hast du es schon verstanden oder es kann jemand in andere Worte fassen.

29.11.2004, 20:41

sandy 84

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RE: Definitions und Wertebereich
also............ du sagst ln darf nur positiv sein dh.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$ grösser null

und komme auf x > 4

dh $\begin{eqnarray*} ln \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$ ist für x > 4 positiv

ist das richtig so ???

29.11.2004, 20:48

sandy 84

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RE: Definitions und Wertebereich
und da bei bei

$\begin{eqnarray*} ln \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$

und egal was ich für x einsetze kommt nie was negatives raus....
also ist der Wertebereich D = R habe ich das jetzt richtig verstanden....

kurz zusammengefasst: was ich im Definitionsbereich rauskriege muss ich dann in die funktion einsetzen und schauen was für zahlen da rauskommen.......oder ???

29.11.2004, 21:14

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich
Zunächst mal hast du schon wieder deine Funktionen geändert. Schreibe bitte nochmal genau auf, um welche Funktionen es sich genau handelt.

Für die erste Funktion hast du bisher folgende 2 Möglichkeiten angeboten:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x^4-3x} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x^4-3x^3} \end{eqnarray*}$

Für die zweite Funktion hast du bislang angeboten:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln{\frac{x^2-3x+2}{x+1}} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln{\frac{x^2-3x+2}{x+2}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sandy 84
also............ du sagst ln darf nur positiv sein dh.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$ grösser null

und komme auf x > 4

Auch hier ist der Bereich nicht ganz komplett. f(0,5)>0 z.B. Poste mal bitte, was du gemacht hast, damit ich dir sagen, kann, ob es immer die gleichen Denkfehler waren.

Zitat:

dh $\begin{eqnarray*} ln \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$ ist für x > 4 positiv

Achtung! Nur der Bruch innerhalb des ln ist positiv. Der Logaritmus kann durchaus auch negative Werte annehmen. Man darf nur keine einsetzen!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ln \frac{x^2-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$

und egal was ich für x einsetze kommt nie was negatives raus....
also ist der Wertebereich D = R habe ich das jetzt richtig verstanden....

In diesem Abschnitt ist viel Durcheinander. Für x darfst du nicht jeden Wert einsetzen! x=-4 z.B. ergibt innerhalb des ln einen negativen Wert und darf deshalb nicht eingesetzt werden. Aber wenn du alle x-Werte einsetzt, für die der Bruch(!) positiv ist (was dem Definitionsbereich der ln-Funktion entspricht), dann nimmt der Bruch(!) alle positiven Zahlen an. Der Wertebereich des ln sind in dem Fall alle reellen Zahlen.

Zitat:

kurz zusammengefasst: was ich im Definitionsbereich rauskriege muss ich dann in die funktion einsetzen und schauen was für zahlen da rauskommen.......oder ???

Das ist soweit richtig.

Trotzdem wäre es mir recht, wenn sich noch jemand in die Diskussion einklinken würde. Ich weiß nämlich nicht, wie ich meine Hilfe präzise und verständlich formulieren soll. Aber solange werde ich mich weiter bemühen Augenzwinkern

29.11.2004, 21:50

yeti777

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RE: Definitions und Wertebereich
Hallo zusammen!

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} ln\frac{x^{2}- 3*x+ 2 }{x+2} \end{eqnarray*}$ .

Wie bereits gesagt wurde, ist der ln nur für positive Argumente definiert, solange man im Rellen bleibt. D.h. die rationale Funktion im ln, um eine solche handelt es sich nämlich, muss für alle x des Definitionsbereichs positiv sein.

Die rationale Funktion hat bei x = -2 einen Pol 1. Ordnung. Rechts vom Pol ist sie positiv und strebt von oben her gegen Null für x -> unendlich. Links vom Pol ist sie negativ und strebt von unten her gegen Null für x -> - unendlich. Also kommt für den ln nur der Bereich rechts vom Pol, dh. x > -2 in Frage.

Ich werde mal versuchen, ob ich in nützlicher Frist einen Graphen der Funktion beschaffen kann. Dann sieht man sofort die Verhältnisse.

Gruss yeti

29.11.2004, 21:58

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich

Zitat:

Original von yeti777
Ich werde mal versuchen, ob ich in nützlicher Frist einen Graphen der Funktion beschaffen kann. Dann sieht man sofort die Verhältnisse.

Gruss yeti

Wenn es darum geht, das ist kein Problem. Dafür gibt es hier den Funktionsplotter Augenzwinkern

Hier der Graph von (x^2-3x+2)/(x+2)

EDIT

Zitat:

Also kommt für den ln nur der Bereich rechts vom Pol, dh. x > -2 in Frage.

Nicht ganz. Innerhalb des Bereichs x>-2 wird die gebrochen rationale Funktion nochmal negativ.

Hier noch der Ausschnitt von x=[0;3]:

29.11.2004, 22:06

yeti777

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RE: Definitions und Wertebereich
Hey Calvin!

Danke für den Tip mit dem Funktionsplotter! Ich bin noch nicht solange dabei und habe gar nicht bemerkt, dass es so ein Ding gibt Hammer

Und dann hatte ich Matsch in der Birne, als ich schrieb, die Funktion strebe gegen Null, pfui! Das kan ja gar nicht sein, denn für grosse x überwiegt der Zähler mit der 2. Potenz von x. Aber das mit dem Pol stimmt.

Jetzt habe ich den Faden verloren. Was ist eigentlich die Frage bei dieser Funktion verwirrt

?

yeti

29.11.2004, 22:08

Calvin

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RE: Definitions und Wertebereich
Die Frage war, für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln{\frac{x^2-3x+2}{x+2}} \end{eqnarray*}$ den Definitions- und Wertebereich zu bestimmen. Im Nenner steht aber möglicherweise x+1. Das ist noch nicht geklärt Augenzwinkern

29.11.2004, 22:10

yeti777

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RE: Definitions und Wertebereich
Du hast recht! Wollte gerade die Frage wegen den Nullstellen stellen. Die Nullstellen sieht man im Zähler, die Pole im Nenner. Genügt das?

yeti

29.11.2004, 22:18

yeti777

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Also ich denke, der Definitionsbereich für diese spezielle Funktion ist $\begin{eqnarray*} ]-2,1[\bigcup ]2,\infty [ \end{eqnarray*}$ (zwei vereinigte offene Intervalle).

Der Wertebereich ist ganz |R.

yeti

Edit: Also irgendwie komme ich immer zu spät. Bin schon ganz durcheinander. Das war keine meiner Glanzleistungen unglücklich

. Let it be für heute!

yeti

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