Beweis Cauchy Folgen

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Kolja Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Cauchy Folgen
Hallo Leute,

also wir sollen folgendes Beweisen (oder wiederlegen):

Sind An und Bn Cauchyfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper so ist An * Bn auch eine Cauchyfolge.

Also wir haben das bewiesen für an + bn is eine Cauchyfolge in dem wir einfach angesetzt haben das |an -am| < Epsilon/2 und |bn -bm| < Epsilon/2
und dann einfach ausgerechnte dass |an - am| + |bn - bm < E ist.

Nun könnte ich das analog ansetzen das |an -am| < Wurzel(Epsilon) gilt.

Aber ist ja Wurzel(2) nicht in Q und Q aber ein archimedisch angeordneter Körper. Also kann ich das nicht ansetzen.

Hat einer eine Idee wie ich den Beweis führen könnte (oder wiederlegen)?
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Epsilon ist doch eine beliebige Fehlerschranke,
ihr habt nur epsilon/2 genommen damit es schöner aussieht.

Guck erstmal wie dein Beweis allgemein aussieht, über die
Feinheiten kannst du dir später Gedanken machen.

So sieht der passende Anfang aus :

Kolja Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich dann so machen?

|an -am| < 1 gilt für ab einem bestimmten N1 für alle n,m > N1

und

|bn -bm| < Epsilon gilt für ab einem bestimmten N2 für alle n,m > N2


dann N : =max(N1,N2) und folgern

für alle n,m>N folgt

|(an-am)*(bn-bm)| = |an-am| * |bn-bm| < E
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Aber darin taucht doch deine Anfangsbedingung gar nicht auf.
Sieh dir mal meinen Ansatz weiter oben an ( Habs editiert ).
Kolja Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also wie ich auch rumrechne (dreiecksungl.) etc ich kriegs nicht vergrössert auf |an-am| * |bn-bm| unglücklich
Kolja Auf diesen Beitrag antworten »

dein ansatz müsste auch so lauten..

... = | bn * (an - am) + am * (bn - bm)|
 
 
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kolja
dein ansatz müsste auch so lauten..

... = | bn * (an - am) + am * (bn - bm)|


Jaaa, aber genau das hab ich doch geschrieben ??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hast du nicht!

@Kolja: Zeige, dass eine Cauchyfolge beschränkt ist. Dann hast du's...
Kolja Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi.

Das eine Cauchyfolge beschränkt ist können wir auch benutzen, da haben wir einen Hilfssatz.

Also weis ich das An und Bn beschränkt sind.

Aber das An*Bn beschränkt sind weiß ich doch sofort nur im Körper der Reelen Zahlen oder? (und wir müssen des ja auch für die rationalen Zahlen zeigen)

Also müsst ich dann doch noch extra zeigen das An*Bn beschränkt ist und das krieg ich gar nicht hinsmile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kolja
Also müsst ich dann doch noch extra zeigen das An*Bn beschränkt ist


Nein. Du sollst zeigen, dass an * bn eine Cauchy-Folge ist. Du hast doch schon den Ansatz:



Jetzt noch Dreiecksungleichung anwenden und benutzen, dass (an) und (bn) beschränkt sind. Fertig.
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