Integral Bestimmung bei Flächenangabe und Funktion

18.04.2007, 09:45

Blackened

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Integral Bestimmung bei Flächenangabe und Funktion

Hey
komme ich wohl gleich mal zum Thema
habe folgende Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=(-2x-a)(-2x+a) \end{eqnarray*}$

und den Integralwert $\begin{eqnarray*} FE=42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Rechnung:

die Funktion wäre ja $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-a^2 \end{eqnarray*}$ laut binomischer Formel.
nun habe ich a gleich gesetzt und bin auf $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen.
(Bitte nochmal nachrechnen^^)

nun werden die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-6,3496 \end{eqnarray*}$ gesucht
bin ich auf dies gekommen:

$\begin{eqnarray*} x1=1.2599 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=-1.2599 \end{eqnarray*}$

das ergibt nun:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1.2599}^{1.2599}~4x^2-6.35~dx= [1\frac{1}{3}x^3-6.35x]_{-1.2599}^{1.2599} \end{eqnarray*}$

und rechne ich nun den Integral aus komme ich auf $\begin{eqnarray*} FE = 10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

wo liegt der fehler ?
sollten ja eigentlich 42,6666 Flächeneinheiten sein ...
hoffe ihr könnt helfen ^^
bis denne
greetz nils

18.04.2007, 09:56

Bjoern1982

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Ich glaube du hast das was falsch verstanden.

Du sollst bestimmt den Parameter a so bestimmen, dass der Graph von f mit der x-Achse eine Fläche von $\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ einschliesst.

Hast du bei der Funktion irgendetwas vergessen hinzuschrieben oder wie kommst du darauf:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-a^2 \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

18.04.2007, 09:59

Blackened

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ups habs editiert ^^
oben die anfangsfunktion war falsch ...
und so wie du es sagst ist auch die aufgabenstellung Augenzwinkern

Augenzwinkern

bis denne
greetz nils

18.04.2007, 10:17

TheGreatMM

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Du musst den Flächeninahlt mit dem Integral (mit Parameter a) gleichsetzen und so das a bestimmen.

18.04.2007, 10:20

Bjoern1982

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Ok, dann ist aber $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ nur eine der insgesamt zwei Nullstellen.

Gruß Björn

18.04.2007, 10:24

Blackened

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ok, dann ist aber $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ nur eine der insgesamt zwei Nullstellen.

Gruß Björn

ok also wären nullstellen

$\begin{eqnarray*} x1=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=-\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

?

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18.04.2007, 10:37

TheGreatMM

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verprobe solche Sachen doch mal selber schnell indem du z.b. a=2 setzt und die Nullstellen eben ausrechnest...

18.04.2007, 10:46

Bjoern1982

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@ Blackened

Jau, deine Nullstellen sind richtig.

Weisst du wie es jetzt wietergeht ?

Tip: Du kannst hier auch schön beim Integrieren ausnutzen, dass es sich um eine zur y-Achse symmetrischen Funktion handelt

Björn

18.04.2007, 11:17

Blackened

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hi also bin iwie jetzte total verwirrt ...
ich nehme an das es jetzt so weiter geht :

$\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3}= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx=[1\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}a^3]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \end{eqnarray*}$

nur bei dem auflösen weiss ich echt nicht mehr weiter ...
da stehe ich vor einer Wand -.-

soweit bin ich derzeit:

$\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3}= (1\frac{1}{3}(\frac{a}{2})^3-\frac{1}{3}a^3)- (1\frac{1}{3}(-\frac{a}{2})^3-\frac{1}{3}a^3) \end{eqnarray*}$

da ich latex erst heute erlernt habe hoffe ich das ich keine fehler eingebaut habe Hammer

Hammer

edit:
@ThegreatMM- keinen plan wie ich das anstellen soll ?

18.04.2007, 11:23

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3}= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx \end{eqnarray*}$

Das ist genau der richtige Ansatz Freude

Freude

Ich würde nur diese gemischten Zahlen in Brüche umwandeln.

Die Stammfunktion von a² ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}a^3 \end{eqnarray*}$

a steht nur für eine Konstante und man integriert nach x.

Stell dir das so vor : $\begin{eqnarray*} a^2=a^2 \cdot x^0 \end{eqnarray*}$

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

18.04.2007, 11:31

Blackened

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$\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3}= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx=[1\frac{1}{3}x^3-a^2*x]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \end{eqnarray*}$

ich bin mir gar nicht sicher aber wenn a als Konstante gehandelt wird müsste es ja eigentlich so aussehen ...
wer weiss ^^

18.04.2007, 11:34

Bjoern1982

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Ja, prima....so ist das richtig

Jetzt muss du halt nur noch die Grenzen einsetzen und nachher nach a auflösen.

Du wirst am Ende auch eine schöne glatte Zahl rauskriegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

18.04.2007, 11:41

Blackened

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und hier liegt das Problem smile

smile

ich komme ab hier kein Stück weiter ... ich habe keine ahnung wie ich das angehen soll -.-

$\begin{eqnarray*} (1\frac{1}{3}(\frac{a}{2})^3-a^2(\frac{a}{2}))-(1\frac{1}{3}(-\frac{a}{2})^3-a^2(-\frac{a}{2})) \end{eqnarray*}$

18.04.2007, 11:59

klarsoweit

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Wo ist jetzt das Problem. Der Term muß eben gleich $\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ sein.

18.04.2007, 12:13

Blackened

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wo ist jetzt das Problem. Der Term muß eben gleich $\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ sein.

Mein Problem liegt darin, dass ich die Formel nicht nach a umstellen kann.
Könnte mir da einer helfen oder erste Schritte einleiten ?

18.04.2007, 12:20

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} (1\frac{1}{3}(\frac{a}{2})^3-a^2(\frac{a}{2}))-(1\frac{1}{3}(-\frac{a}{2})^3-a^2(-\frac{a}{2}))=\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} -\frac{a^3}{2} +\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8}-\frac{a^3}{2} \end{eqnarray*}$

So, jetzt kommst du smile

smile

18.04.2007, 12:43

klarsoweit

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@Bjoern: von jemanden, der Integralrechnung macht, erwarte ich, daß er solch triviale Umformungen nachts um 3 aus dem effeff kann. Ist schließlich Stoff der Mittelstufe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2007, 12:44

Bjoern1982

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Geb ich dir vollkommen recht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mehr helfe ich auch nicht Big Laugh

Big Laugh

Björn

18.04.2007, 12:47

Blackened

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Zitat:

Original von Bjoern1982
$\begin{eqnarray*} (1\frac{1}{3}(\frac{a}{2})^3-a^2(\frac{a}{2}))-(1\frac{1}{3}(-\frac{a}{2})^3-a^2(-\frac{a}{2}))=\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} -\frac{a^3}{2} +\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8}-\frac{a^3}{2} \end{eqnarray*}$

So, jetzt kommst du smile

smile

sodele hoffe das es soweit nun auch stimmet ^^

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}\cdot\frac{2a^3}{8}-\frac{2a^3}{2}=2\cdot(\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3}{8}-\frac{a^3}{2}) \end{eqnarray*}$

Kann ich dort im ersten Teil die Achten weg kürzen ?
Habt ihr ne Idee wie ich da mehr Routine rein bekomme ? Habe leider keine Idee wie ich das erlernen soll Formeln unzuformen ... ärgert mich jetzte das ich früher da nie aufgepasst hab böse

böse

18.04.2007, 12:50

Bjoern1982

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Das Ziel ist es eben nach und nach die Klammern aufzulösen und am Ende wirst du dann durch zusammenfassen genau einen Term mit a^3 erhalten.

Björn

18.04.2007, 12:54

Blackened

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oki dowki

aber kann ich da boen die 8ten weg kürzen ?

18.04.2007, 13:06

Bjoern1982

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Klar kannst du kürzen....aber deine Umformung stimmt noch nicht ganz.

Schau nochmal genau drüber.

18.04.2007, 13:12

Blackened

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öhm ich finde leider keinen fehler verwirrt

verwirrt

18.04.2007, 13:22

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}\cdot\frac{2a^3}{8}-\frac{2a^3}{2}=2\cdot(\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3}{8}-\frac{a^3}{2}) \end{eqnarray*}$

Du hast die 2 zu den 4/3 UND zu den a³/8 multipliziert, das geht so nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\cdot\frac{a^3}{8} \end{eqnarray*}$ zählt als EIN Summand.

18.04.2007, 13:41

Blackened

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Zitat:

Original von Bjoern1982
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}\cdot\frac{2a^3}{8}-\frac{2a^3}{2}=2\cdot(\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3}{8}-\frac{a^3}{2}) \end{eqnarray*}$

Du hast die 2 zu den 4/3 UND zu den a³/8 multipliziert, das geht so nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\cdot\frac{a^3}{8} \end{eqnarray*}$ zählt als EIN Summand.

achso ok ok dann probiere ich mein glück mal weiter

$\begin{eqnarray*} = \frac{a^3}{3}-a^3 \end{eqnarray*}$

|*3

$\begin{eqnarray*} =a^3-3a^3=-2a^3=42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

| $\begin{eqnarray*} :-2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{42\frac{2}{3} : -2 } \end{eqnarray*}$

irgend was passt da wieder nicht ... traurig

traurig

18.04.2007, 13:45

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} =a^3-3a^3=-2a^3=42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Du musst auf BEIDEN Seiten der Gleichung mit 3 multiplizieren.

18.04.2007, 13:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackened
irgend was passt da wieder nicht ... traurig

traurig

Zu bedenken ist noch, daß die Parabel auf [-a/2; a/2] unterhalb der x-Achse läuft. Die Fläche muß also negativ gerechnet werden.

18.04.2007, 13:51

Blackened

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$\begin{eqnarray*} = \frac{a^3}{3}-a^3 \end{eqnarray*}$

|*3

$\begin{eqnarray*} =a^3-3a^3=-2a^3=128 \end{eqnarray*}$

| $\begin{eqnarray*} :-2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{128 : -2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=-4 \end{eqnarray*}$

glaube das müsste stimmen smile

smile

18.04.2007, 14:13

Bjoern1982

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Ja, hatte ich auch raus Wink

Wink

18.04.2007, 14:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackened
$\begin{eqnarray*} a=-4 \end{eqnarray*}$

glaube das müsste stimmen smile

smile

Nöö. a=4
Siehe auch meinen Beitrag von oben.

Im übrigen gibt es ja nach Definition unter den Mathematikern einen Riesenstreit, ob man aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen kann.

18.04.2007, 14:35

Blackened

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mit a is aber doch nich die Fläche gemeint sondern die Konstante der Funktion ?

das heisst ich muss nun die Nullstellen der Funktion errechnen für die Probe oder ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-16 \end{eqnarray*}$

18.04.2007, 14:54

klarsoweit

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Nochmal ausführlich:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-a^2 \end{eqnarray*}$ läuft auf dem Intervall zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx \end{eqnarray*}$ ist also negativ. Wenn man damit eine positive Fläche berechnen will, muß man also das Intergral mit -1 multiplizieren oder die Fläche eben negativ rechnen.

18.04.2007, 15:08

Blackened

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nochmal ausführlich:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^2-a^2 \end{eqnarray*}$ läuft auf dem Intervall zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx \end{eqnarray*}$ ist also negativ. Wenn man damit eine positive Fläche berechnen will, muß man also das Intergral mit -1 multiplizieren oder die Fläche eben negativ rechnen.

Ja das ist mir bekannt das der Integral nur einen positiven Wert haben kann. Wir verwenden z.B. immer Betragsstriche. Aber die -4 bzw. 4 ist doch jetzt noch nicht die Fläche, so wie du gesgat hast, oder?

18.04.2007, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackened
Ja das ist mir bekannt das der Integral nur einen positiven Wert haben kann. Wir verwenden z.B. immer Betragsstriche.

Das ist ungenau formuliert. Ein Integral kann positive oder negative Werte haben. Will man damit eine Fläche berechnen, so muß man von dem Integralwert den Betrag nehmen bzw. - wenn man schon weiß, daß was negatives rauskommt - einfach ein Minus dsavor schreiben.

Zitat:

Original von Blackened
Aber die -4 bzw. 4 ist doch jetzt noch nicht die Fläche, so wie du gesgat hast, oder?

Wo habe ich das gesagt? verwirrt

verwirrt

Also noch einmal:

Wir wissen mittlerweile folgendes:
Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx \end{eqnarray*}$ ist negativ. Also müssen wir schreiben:

$\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} = - \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}~4x^2-a^2~dx \end{eqnarray*}$

Obendrein sollte die untere Integralgrenze kleiner als die obere Integralgrenze sein. Das impliziert a > 0.

Wenn man obiges Integral berechnet, erhalten wir a=4. Das a ist nicht die Fläche, sondern der gesuchte Parameter der Funktion. Und damit wissen wir jetzt, wie die Funktion aussehen muß, damit sie die Fläche von $\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ einschließt.

18.04.2007, 19:37

Bjoern1982

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@ klarsoweit

Wenn es nur um den Wert des Integrals geht stimme ich dir zu.

Wenn es aber darum geht für welches a die Fläche, die der Graph von f mit der x-AChse einschliesst $\begin{eqnarray*} 42\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ FE beträgt, gibt es doch zwei Lösungen oder ? Denn für a=4 oder a=-4 sieht der Graph ja genauso aus verwirrt

verwirrt

Gruß Björn

18.04.2007, 19:54

cleverclogs

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Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} a=\pm4 \end{eqnarray*}$ smile

smile

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