Bernoulli Zahlen

18.04.2007, 11:43	gästin	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli Zahlen Hallo zusammen! hab hier eine aufgabe bei der ich einfach nicht weiterkomme, vielleicht kann mir ja jem helfen zeigen sie: für alle n>= 1 gilt: B $\begin{eqnarray} 2n+1 \end{eqnarray}$ =0 die bernoulli zahlen haben wir wie folgt def.: B $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ = 1; $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} Bk =0 \end{eqnarray}$ habe zunächst die vielen tipps angewandt und gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n!} Bn=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x -1}= \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{n!} Bn \end{eqnarray}$ dann sollte man zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x -1}+ \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ auch als $\begin{eqnarray} \frac{x}{2}\frac{e^x/2 + e^-x/2}{e^x/2 - e^-x/2} \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann und dies eine gerade funktion ist. so, nach vielem hin und her bin ich jetzt also bei diesem punkt angelangt, und soll jetzt daraus folgern können, dass eben für alle n>= 1 gilt: B $\begin{eqnarray} 2n+1 \end{eqnarray*}$ =0 hab keine ahnung wie man das jetzt macht...
18.04.2007, 11:44	gästin	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, bin nicht so latex bewandelt, es muss natürlich heißen e hoch x-1 und e hoch x/2 bwz -x/2
18.04.2007, 12:33	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo "gästin" bist bestimmt aus Münster nicht ? (Biste bei Jakob oder Nils?) Probier es mal so : $\begin{eqnarray} \frac x 2 \cdot \frac {cosh(\frac x 2)}{sinh(\frac x 2)} \end{eqnarray}$ Das kannste jetzt schön zu dem umformen was bei dir steht, also : $\begin{eqnarray} \frac{x}{2}\frac{e^{x/2} + e^{-x/2}}{e^{x/2} - e^{-x/2}} \end{eqnarray}$ und das ist nicht anderes als : $\begin{eqnarray} \frac x 2 \cdot \frac {1+e^x}{e^x-1}=\frac x {e^x-1} + \frac 2 x \end{eqnarray}$ und das ist $\begin{eqnarray} 1+ \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n}}{n!} Bn \end{eqnarray*}$ und weil bei gerade Funktionen alle Koeffizienten von ungeraden Potenzen wegfallen qed. EDIT:Hab den Latex verbessert
18.04.2007, 12:34	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh falls du Aufgabe4 hast dann kannst du mir ja hier helfen : Periodische Funktion
18.04.2007, 13:57	gästin	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo! ja bin aus münster danke für die hilfe, mal wieder den wald vor lauter bäumen nicht gesehen kann dir bei der 4 im moment leider auch nicht weiterhelfen, falls wir nachher noch was hinbekommen poste ichs lg
18.04.2007, 16:37	frischling	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bernoulli Zahlen habe zunächst die vielen tipps angewandt und gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n!} Bn=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^x -1}= \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{n!} Bn \end{eqnarray}$ soweit komme ich nicht mal steh gerade voll aufm Schlauch und weiß nicht, wie ich überhaupt so "weit" komme. Könnte mir jemand dabei helfen?
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18.04.2007, 17:28	gästin	Auf diesen Beitrag antworten »
hab grad meine unterlagen nicht vor mir, aber versuchs mal beim ersten, indem du dir die multiplikation von reihen und da den satz von mertens nochmal anschaust und dann versuchst, den satz auf die beiden reihen anzuwenden. den zweiten tipp bekommt man, indem man sich die potenzreihe von exp anschaut, also $\begin{eqnarray} e^x = \end{eqnarray}$ = ... und dann auf beiden seiten 1 abzieht, anschließend durch x teilt. der rest ist dann noch umformen und auf den tipp 1 zurückführen gruß (ist ein bisschen 'wurschtelig', hoffe du verstehst was ich meine)
18.04.2007, 17:56	frischling	Auf diesen Beitrag antworten »
mh Satz von Mertens? Sehe nicht, was der mir bringen sollte...

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