Volumenberechnung mittels (Doppel)Integral

18.04.2007, 14:58

Shez

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Volumenberechnung mittels (Doppel)Integral

Hallo, Ihr Lieben,

nachdem ich letztes Mal schon so super Hilfe bekam, dachte ich, ich kann heute wieder mal fragen.
Steh mit einer Aufgabe total auf dem Schlauch.

Zitat:

In einem Schwimmbad befindet sich ein Becken mit der in der Abbildung wiedergegebenen Grundfläche (Blick aus der z-Richtung). Die Wassertiefe ist gleichförmig zunehmend mit der Funktion $\begin{eqnarray*} z(x;y)= 1/10 y \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie das Wasservolumen.

http://chesdre.ch.funpic.de/muh_html_615e75b1.png

Aussehen tut das auf dem Bild etwa so.
Da ist ja dann noch eine Funktion dabei, y= x²
Inwieweit wird sie benötigt?!
Auf dem Bild ist m.E. die Grundfläche ersichtlich, also A = x*y

Und ich steh davor wie der Ochs vor dem Berg.

Es ist mir soweit klar, dass man das Volumen ja normal so berechnet
V = l* b * h
Könnte man hier nun x, y, z anwenden?
Meine Überlegung war dann, die Gleichung so zu schreiben
V= x * x² * 1/10x

Allgemein weiß ich, dass man wohl auch schreiben könnte:
dV = z* dA
Kann ich das als Ansatz nehmen?

Ich wäre Euch echt dankbar, wenn ich das mit Euch erarbeiten kann.

Liebe Grüße
Shez

18.04.2007, 15:17

integralschokolade

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Du musst den Ansatz
dV = A * dz
nehmen, denn es werden ja immer alle Grundflächen über alle z
aufsummiert. Und nun wird die Grundfläche in drei Teile aufgeteilt.
Dazu werden die Funktionen und deren Integrationsgrenzen so gewählt:
y = $\begin{eqnarray*} 25-5x (von -15 bis -10)\\0 (von -10 bis 0) \\x^{2} (von 0 bis 5) \end{eqnarray*}$
Setze dann alle drei Funktionen (aufgeteilt) in die Formel 1/10y ein.
Dann integrierst du alles nach der Variablen x auf (bildest die Stammfunktion); dann ziehst du das von der rechteckigen Fläche 500m² ab und dann setzst du für dz das d(1/10y) ein. Dabei für y
einfach die dazugehörende Funktion von x einsetzen, Differentiationsregeln anwenden und aufintegrieren!

18.04.2007, 19:40

Shez

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Wie kommst Du denn auf den Part?
--> 25-5x

So ganz hab ichs wohl nich verstanden, aber ich versuchs ma in eigenen Worten wiederzugeben.
Ich bau mir drei Integrale, da ich ja die Flächen aufteilen muss und addiere die am Ende zusammen, richtig?

Das mit dem Einsetzen in y=0,1x versteh ich nich und woher kommen die 500m²? verwirrt

verwirrt

19.04.2007, 14:22

ICEMAN

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25-5x:

die seitenbegrenzung der linken seite kannst du dir als lineare fkt vorstellen. über das steigungsdreieck und den schnittpunkt mit der ordinate kommst du dann auf die fkt y=-5x+25

die 500m² ist die fläche, welche im koordinatensystem von -15 bis 5 in x-richtung und von 0 bis 25 in y-richtung verläuft.
von dieser fläche und der tiefe kannst du dann das volumen ausrechnen, musst aber dann die flächen unter der linearen fkt und der quadratischen fkt wieder abziehen, da die ja nicht dazu gehören.

mfg jens

19.04.2007, 14:42

Leopold

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Vielleicht stehe ich ja irgendwie auf dem Schlauch dieses Schwimmbades oder ... - aber ich kann mir das Schwimmbad einfach nicht vorstellen! Was bedeutet denn "Grundfläche"? Ist das der Boden des Schwimmbades? Das würde ich jedenfalls naiv unter diesem Begriff verstehen. Oder zeigt die Figur einen Längsschnitt, also einen Schnitt von oben nach unten durch das Schwimmbad? Aber was soll es dann bedeuten, wenn es heißt "die Wassertiefe ist gleichförmig zunehmend ..."? Tiefe hat doch etwas mit oben/unten zu tun und nicht mit vorne/hinten.

Vielleicht kann mir ja einmal jemand helfen und eine räumliche Skizze dieses Schwimmbades zeichnen.

19.04.2007, 14:58

Shez

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Es handelt sich eigentlich um ein 3D-Bild, ich gucke von oben, von der z-Achse drauf.
Du hast das schon recht erkannt, auf der Skizze is nur die Grundfläche.

So, bis zu den Funktionen und dem Aufteilen hab ichs nachvollzogen, die Grenzen auch.
Aber wie meint Integralschokolade, dass ich das aufgeteilt einsetzen muss?

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19.04.2007, 15:17

ICEMAN

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@ LEOPOLD
wie shez schon gesagt hat schaust du bei der skizze von oben drauf.
wegen der tiefe, du kennst das doch bei schwimmbecken, dass die am anfang flacher sind als am ende, z.b. sind die am anfang 1,80m tief und am ende dann 3m.
hier ist das ähnlich, nur dass wir jetzt am anfang bei null beginnen und dann das wasser immer tiefer wird.

@ SHEZ

Beispiel: y=-5x+25; z=1/10y

nun setzt du die y=-5x+25 in z, dann integrierst du die fkt um auf das teilvolumen zu kommen.
das machst du dann auch mit den anderen.

mfg jens

19.04.2007, 15:20

Shez

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*Kopf meets Tischplatte*

Jetz seh ich das ja, dass die z-Funktion ja ein Y beinhaltet, dann darf ich das ja gleich setzen...
Und für den viereckigen Mittelpart nehm ich einfach 0?

*edit* Und als Grenzen nehm ich die jeweils passende x-Grenze und für die y-Integration von 0 bis 25

19.04.2007, 15:39

ICEMAN

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Zitat:

Original von Shez
reckigen Mittelpart nehm ich einfach 0?

das hab ich mich auch schon gefragt. wenn du aber null einsetzt hast du ja keine variable mehr, nach welcher du integrieren kannst, oder ist das an der hochschule anders?

allerdings kannst du dir auch das rechteck als fkt vorstellen.

die fläche unter einer linearen fkt ist ja die hälfte wie die eines rechteckes mit gleichen abmessungen.

y=2,5x+25, das integral dieser fkt zwischen den grenzen -10 bis null beschreibt die hälfte der fläche des rechteckes. also einfach mal 2und dann kannst du es wie bei den anderen zweien einsetzen, denk ich.

oder hast du ne andere idee?

zu deinem EDIT:

ich glaub jetzt hört mein latein mit meinen kenntnissen bis zur 12 klasse auf. wie meinst du denn das? willst du jetzt nach 2 variablen integrieren?

19.04.2007, 15:41

AD

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Die Verwirrung resultiert vielleicht auch aus folgendem:

Der Begriff "Grundfläche" ist hier nun gerade etwas unglücklich gewählt, denn die Grundfläche des Beckens ist ja gerade abgeschrägt. Ich denke mal, die Skizze oben zeigt die Wasserfläche des Beckens, senkrecht zur Schwerkraftrichtung z-Achse. Also nicht die Grundfläche selbst, sondern ihre Projektion in die xy-Ebene. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2007, 15:45

Leopold

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* lichtaufgeh *
Danke!

19.04.2007, 16:04

Shez

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Ja, die Aufgabe wurde ja im Zusammenhang mit dem Mehrfachintegral gestellt.
Damit sollen wir das m.E. dann wohl auch berechnen.

19.04.2007, 16:15

ICEMAN

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also wie gesagt, ich bin grade erst noch dabei mein abitur zu machen und das gehört nicht zum lernstoff.

Zitat:

Original von Shez

*edit* Und als Grenzen nehm ich die jeweils passende x-Grenze und für die y-Integration von 0 bis 25

klingt eigentlich logisch

mfg jens

19.04.2007, 16:43

AD

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Zitat:

Original von Shez
Allgemein weiß ich, dass man wohl auch schreiben könnte:
dV = z* dA
Kann ich das als Ansatz nehmen?

Ja, kannst du:

Es ist $\begin{eqnarray*} V = \iint\limits_A ~ z(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z(x,y) \end{eqnarray*}$ die Wassertiefe am Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ des Beckens beschreibt. Das ist hier ja gegeben gemäß $\begin{eqnarray*} z(x,y) = \frac{y}{10} \end{eqnarray*}$ .

Bleibt noch die Fläche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , über die zu integrieren ist - die kann man schreiben gemäß

$\begin{eqnarray*} A = \bigg\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \biggm| -15\leq x\leq 5,\quad u(x)\leq y\leq 25 \bigg\} \end{eqnarray*}$ ,

wobei die untere Linie $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ die oben dargestellte blaue Kurve ist, also

$\begin{eqnarray*} u(x) = \begin{cases} -5(x+10) & \;\mbox{für}\; -15\leq x<-10\\ 0 & \;\mbox{für}\; -10\leq x<0 \\ x^2 & \;\mbox{für} 0\leq x\leq 5\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die obere Linie ist ja bei konstant 25. Das eingesetzt ergibt dann erstmal

$\begin{eqnarray*} V = \int\limits_{x=-15}^5 ~ \int\limits_{y=u(x)}^{25} ~ \frac{y}{10} ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Der Rest ist ein bissel Rechnerei, mit Aufteilung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [-15,5] \end{eqnarray*}$ in die drei naheliegenden Teilintervalle, usw... smile

smile

23.04.2007, 11:24

Shez

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Ich bin mega verwirrt...

Heute im Tutorium haben die das vollkommen anders berechnet.
Wobei mir der hier aufgezeigte Rechenweg naheliegender ist.

Womöglich hab ich mich verrechnet und beide Wege führen zum Ziel?! Hilfe

Hilfe

Der Weg von heute sah so aus

$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{25}~\int_{x=10- \frac{5}{y} }^{x=\sqrt{y}} \frac{1}{10} *y~dx~dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{25}\frac{1}{10}~y~\sqrt{y}-\frac{1}{10}~y~(-10-\frac{y}{5})~dy \end{eqnarray*}$

dann eben zusammenfassen und nochmals nach y integrieren.
Ergebnis war dann
V= 541.67m³

Was is nun der beste Weg?

23.04.2007, 15:21

AD

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Ja, so geht's auch. Wichtig ist nur, dass über die Wasserfläche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (von mir oben) integriert wird - ob nun zuerst über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , oder umgekehrt, ist egal. So "vollkommen anders" ist das also nicht, nur die Integrationsreihenfolge x,y ist gerade andersherum als bei mir oben.

Dein Weg hat den Vorzug, dass keine Fallunterscheidung - d.h. Intervallunterteilung - nötig ist. Insofern ist er besser.

P.S.: War da nicht mal eine Skizze hier im Thread zu sehen? Ist irgendwie weg - schade!

23.04.2007, 15:49

Shez

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Ja sollte sie... sehe sie aber auch nich verwirrt

verwirrt

*edit* der Server war irgendwie weg oder ich zu doof, aber sie is wieder da

Hoffentlich hier nu...

Also nur zur Rückversicherung: beide Wege führen zum Ziel und bei beiden sollte dasselbe Ergebnis rauskommen?!
Dann hab ich mich verrechnet und jetz versuch ich das so lange, bis es klappt *g*
Vielen Dank Arthur für Deine großartige Unterstützung Gott

Gott

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