Polynome - Lagrange'sch

30.11.2004, 15:43

matheverwirrte...

Polynome - Lagrange'sch

Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Seien zi für i=1,2,...,n

Begründe, dass

(( für i ungleich j ))

pj(z)= ((Produktzeichen) (z-zi)) / ((Produktzeichen) (zj-zi))

das eindeutig bestimmte Polynom vom Grade n mit der Eigenschaft

pj(zi) = 1, i=j bzw. 0, i ungleich j

ist.

Dass das Polynom die Eigenschaft hat, habe ich ja schon begründet. Meiner Meinung nach hat es aber den Grad n-1. Stimmt das? Wenn nicht, wie komme ich auf den Grad n? Und wie kann man begründen, dass es das eindeutige Polynom ist?

30.11.2004, 15:54

Leopold

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Benutze den Formeleditor. Kopiere den Code in deinen Beitrag und schließe ihn in $\begin{eqnarray*} \mbox{[latex]...[/}\mbox{latex]} \end{eqnarray*}$ ein.

Dann kann man deinen Text lesen und dein Problem verstehen.

30.11.2004, 15:56

matheverwirrte

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würde ich gerne tun, aber leider finde ich da weder fußnote noch das produktzeichen...

30.11.2004, 15:59

iammrvip

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RE: Polynome - Lagrange'sch
@Leopold
das produktzeichen ist nicht im formeleditor. ich hab's mal schnell geschrieben:

Seien $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1, 2, ..., n \end{eqnarray*}$

Begründe, dass

für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_j(z) = \frac{\prod\limits_{i \neq j}~(z - z_i)}{\prod\limits_{i \neq j} (z_j - z_i)} \end{eqnarray*}$

das eindeutig bestimmte Polynom vom Grade n mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} p_j(z_i) = 1 \text{,} i = j \text{bzw. 0,} i \neq j \end{eqnarray*}$

ist.

edit: jetzt müsste's stimmen Augenzwinkern

30.11.2004, 16:00

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \prod_{i \neq j}~{a_i \cdot a_j} \end{eqnarray*}$

geht z.B. so: \prod_{i \neq j}~{a_i \cdot a_j}

30.11.2004, 16:01

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RE: Polynome - Lagrange'sch
Mit

$\begin{eqnarray*} p_j(z)=\frac{\prod\limits_{i:\;i\neq j} (z-z_i)}{\prod\limits_{i:\;i\neq j} (z_j-z_i)} \end{eqnarray*}$

ergibt das ganze Sinn.

Und ja, es ist ein Polynom (n-1)ten Grades

30.11.2004, 16:03

Leopold

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Ich vermutete auch, daß matheverwirrte... das meinte. Allerdings habe ich den Verdacht, daß es am Anfang

$\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,1,2,...,n \end{eqnarray*}$

heißen soll.

30.11.2004, 16:05

iammrvip

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hab's mich auch grad gewundert. das unten muss doch was hin verwirrt

30.11.2004, 16:06

Matheverwirrrte...

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RE: Polynome - Lagrange'sch
Kurze begründung?
Und warum ist es ein eindeutig bestimmtes Polynom?

30.11.2004, 16:09

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Wir sollten vielleicht zunächst klären, ob Leopold mit seiner Vermutung

Zitat:

Original von Leopold
Ich vermutete auch, daß matheverwirrte... das meinte. Allerdings habe ich den Verdacht, daß es am Anfang

$\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,1,2,...,n \end{eqnarray*}$

heißen soll.

Recht hat. Wie ist es, matheverwirrte... ?

30.11.2004, 16:10

Leopold

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Stimmen zwei Polynome von einem Grad $\begin{eqnarray*} <n \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stellen überein, so ist ihre Differenz ein Polynom von einem Grad $\begin{eqnarray*} <n \end{eqnarray*}$ mit mindestens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen oder das Nullpolynom. Nach dem bekannten Satz, daß ein Polynom vom Grade $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ höchstens $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat, muß diese Differenz das Nullpolynom sein.

30.11.2004, 16:12

Matheverwirrte...

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i=1,2,...,n soll es eigentlich heißen.

30.11.2004, 16:14

matheverwirrte

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das mit der Eigenschaft ist mir jetzt schon klar. Wie gesagt.

Aber wie kommt man denn nun darauf, dass es eindeutig bestimmt ist? Oder sollte das mit dem Nullpolynom dazu sein? Dann hab ich's rein gar nicht durchblickt..

30.11.2004, 16:16

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Also i=1,2,...,n.

Dann ist $\begin{eqnarray*} p_j(z) \end{eqnarray*}$ tatsächlich vom Grad (n-1) und du kannst Leopolds Begründung der Eindeutigkeit unverändert übernehmen.

30.11.2004, 16:20

matheverwirrte

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fühl mich jetzt etwas dumm...

aber warum beweis ich damit die eindeutigkeit? und warum stimmen dividend- und divisorpolynom in n stellen überein?

30.11.2004, 16:27

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Angenommen, es gibt zwei verschiedene Polynome $\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_j^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$ vom Grad <n mit den von dir in der Aufgabenstellung beschriebenen Funktionswerten (also (n-1)mal die 0 und einmal die 1).

Dann weiter wie Leopold:

Man bildet die Differenz $\begin{eqnarray*} d_j(z)=p_j^{(1)}(z)-p_j^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$
und erkennt unmittelbar, dass dieses Polynom d_j(z) mindestens n Nullstellen haben muss, nämlich mindestens z_1, ... , z_n.
Dann kann es aber nur das Nullpolynom sein, denn andernfalls müsste der Grad von d_j größer oder gleich n sein, Widerspruch zum Grad (n-1).

30.11.2004, 16:27

Leopold

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$\begin{eqnarray*} p(x)-q(x) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ p(x) = q(x) \end{eqnarray*}$

30.11.2004, 16:31

matheverwirrte

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ah... okay. vielen dank!!!

30.11.2004, 16:36

matheverwirrte

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aber kann es sein, dass dj höchstens n nullstellen hat und nicht mindestens?

30.11.2004, 16:43

matheverwirrte

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nehme das eben geschriebene zurück...

was ichn mich jetzt allerdings noch frage, warum muss ein polynom, wenn es an n stellen übereinstimmt, mindestens n nullstellen haben, wenn der grad < n ist? und wie soll so ein polynom überhaupt an n stellen übereinstimmen?

sorry, wenn wir wirklich verwirrt sind, aber sind noch mitten im 1. semester und erfüllen voll das klischee vom nix-verstehen...

30.11.2004, 16:45

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Zitat:

Original von matheverwirrte
aber kann es sein, dass dj höchstens n nullstellen hat und nicht mindestens?

Zunächst mal ist das Gegenteil von "mindestens n" nicht höchstens n, sondern "weniger als n". Und das kann nicht sein, da d_j auf alle Fälle die Nullstellen z_1, ... , z_n besitzt - und das sind schon mal n verschiedene Werte, also keinesfalls weniger als n.

30.11.2004, 16:56

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Zitat:

Original von matheverwirrte
was ichn mich jetzt allerdings noch frage, warum muss ein polynom, wenn es an n stellen übereinstimmt, mindestens n nullstellen haben, wenn der grad < n ist? und wie soll so ein polynom überhaupt an n stellen übereinstimmen?

Ich versuchs mal mit meiner Erklärung von oben, nur diesmal ausführlicher:

Angenommen, es gibt zwei verschiedene Polynome $\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_j^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$ vom Grad <n mit den von dir in der Aufgabenstellung beschriebenen Funktionswerten:

$\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}(z_j)=p_j^{(2)}(z_j)=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}(z_i)=p_j^{(2)}(z_i)=0,\qquad i=1,\ldots,n,\; i\neq j \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} d_j(z)=p_j^{(1)}(z)-p_j^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$ bilden wir jetzt die n Einzeldifferenzen

$\begin{eqnarray*} d_j(z_j)=p_j^{(1)}(z_j)-p_j^{(2)}(z_j)=1-1=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} d_j(z_i)=p_j^{(1)}(z_i)-p_j^{(2)}(z_i)=0-0=0,\qquad i=1,\ldots,n,\; i\neq j \end{eqnarray*}$

Damit hat dieses d_j die genannten n Nullstellen z_1, ... , z_n.

Ein Polynom vom Grad m (mit m<n) hat aber nunmal höchstens m verschiedene Nullstellen - es sei denn, es ist das Nullpolynom (d.h., d_j(z)=0 für alle z).

d_j als Differenz zweier Polynome vom Grad <n ist ebenfalls vom Grad <n. Da wir soeben nachgewiesen haben, dass d_j dann das Nullpolynom sein muss, folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}(z)=p_j^{(2)}(z)+d_j(z)=p_j^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$

die Gleichheit der von uns als verschieden angenommenen Polynome $\begin{eqnarray*} p_j^{(1)}, p_j^{(2)} \end{eqnarray*}$ - Widerspruch zur Annahme.

EDIT: Bitte teile mir mit, wenn der Groschen gefallen ist - damit ich weiß, mich hier nicht umsonst abgemüht zu haben. traurig

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