Ableiten: Kleines (?) Problem

30.11.2004, 15:44

GetIT

Ableiten: Kleines (?) Problem

Warum ergibt die Ableitung dieser Fkt $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x} \end{eqnarray*}$ das hier:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{x}*(ln{x}+1) \end{eqnarray*}$ : die Frage ist hier nur - warum +1 (und nicht *1)

Bzw. hier:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2*x+3} \end{eqnarray*}$ dann das hier: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2*e^{2*x+3} \end{eqnarray*}$ , also diesmal *2 (bzw. 2*) und nicht +2

Kann mir das mal bitte jemand erklären, warum einmal * dasteht und des andere Mal +.

30.11.2004, 15:48

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableiten: Kleines (?) Problem

Zitat:

Original von GetIT
Warum ergibt die Ableitung dieser Fkt $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x} \end{eqnarray*}$ das hier:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{x}*(ln{x}+1) \end{eqnarray*}$

weil du entweder erst logarithmieren musst, oder du schreibst dir das um:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x} = e^{ln\left(x^x\right)} = e^{x ln(x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bzw. hier:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2*x+3} \end{eqnarray*}$ dann das hier: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2*e^{2*x+3} \end{eqnarray*}$ , also diesmal *2 (bzw. 2*) und nicht +2

das musst du nach kettenregel ableiten. deshalb. mit:

$\begin{eqnarray*} v(x) = 2x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(v) = e^v \end{eqnarray*}$

30.11.2004, 17:47

GetIT

Auf diesen Beitrag antworten »

30.11.2004, 18:00

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehst du das zweite?? wenn man sich nicht sicher ist welche regel, kann man die kettenregel immer daran erkennen, dass die funktion wie eine ketten nacheinander gelöst werden muss.

also dein bsp.:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2x+3} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$

müsste man doch nacheinander rechen:

erst: $\begin{eqnarray*} 2x+3 \Rightarrow 2\cdot 2 + 3 = 7 \end{eqnarray*}$
danach: $\begin{eqnarray*} e^{7} = 1096.6 \end{eqnarray*}$

also muss man erst den exponent dann dann e hoch das ergebnis. wie eine kette alles nacheinander.

war das bisschen verständlich??

30.11.2004, 19:50

GetIT

Auf diesen Beitrag antworten »

Das schon, aber mit Kettenregel (oder den anderen Regeln) hab ich kein Problem.

Ich kapier nur nett, wieso ich im einen Fall bei der Ableitung ne 1 addiert hab (s. Ableitung der 1.Fkt).
Und im 2.Fall ne 2 multipliziert wurde (ok, nachdifferenzieren, aber wieso oben +1 hier *2)?????

30.11.2004, 20:15

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

das erste zeige ich dir mal:

also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x} = e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$

nach kettenregel:

$\begin{eqnarray*} v(x) = xln(x) \Rightarrow v'(x) = ln(x) + 1 \text{(nach produktregel)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(v) = e^v \Rightarrow u'(v) = e^v = e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(v) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{xln(x)} \left(ln(x) + 1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^x\left(ln(x) + 1\right) \end{eqnarray*}$

verstehst du es jetzt??

30.11.2004, 20:40

GetIT

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hartnäckigkeit, jetzt ist das klar.

Aber darauf $\begin{eqnarray*} x^x = e^{xlnx} \end{eqnarray*}$ muss man erstmal kommen.

Gibt es keine "einfache" Erklärung das $\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} f'(x) = x^x(lnx + 1) \end{eqnarray*}$ ergibt???

Das $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird als $\begin{eqnarray*} a^x lna \end{eqnarray*}$ weiß ich (bzw. meine Formelsammlung), und das ich dann noch nachdifferenzieren muss weiß ich auch - aber warum +1 und net *1????

30.11.2004, 20:42

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GetIT
Das $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird als $\begin{eqnarray*} a^x lna \end{eqnarray*}$ weiß ich (bzw. meine Formelsammlung), und das ich dann noch nachdifferenzieren muss weiß ich auch - aber warum +1 und net *1????

das kannst du hier überhaupt nicht so anwenden. du hast doch ein x in der basis. unglücklich

das würde beim ausrechnen bedeuten. (so wie oben)

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$

müsstest du rechen

$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{und das jetzt hoch x also 2 }\Rightarrow 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$

das ist auch wieder eine verkettung. diese regel von oben kannst du bloß anwenden, wenn du basis nicht die variable ist, nach der differenziert werden soll.

die andere variante wäre:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(f(x)) = ln\left(x^x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(f(x)) = x ln(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \text{ jetzt beide seiten ableiten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{f(x)} = ln(x) + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x)\left(ln(x) + 1\right) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \text{ } f(x) = x^x \text{einsetzen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^x\left(ln(x) + 1\right) \end{eqnarray*}$

find ich aber umständlicher. und ich weiß nicht, ob du das besser verstehst. verwirrt

30.11.2004, 20:52

GetIT

Auf diesen Beitrag antworten »

okay!!!

Danke für deine Mühen - werds mir mal durch den Kopf gehen lassen

30.11.2004, 20:54

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

gerne doch!!

cu soon Wink

30.11.2004, 21:13

Bassman

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo iammrvip,

also, ich finde Deine letzte Lösung besser und viel verständlicher, weil Du hier konsequent darstellst, dass es sich bei dieser Art abzuleiten um logaritmisches Ableiten handelt.
So wird's übrigens auch in Lehrbüchern beschrieben. Aus Deiner ersten Erklärung wird das nicht sofort deutlich.

Gruß

Bassman

Neue Frage »

Antworten »

Ableiten: Kleines (?) Problem

Verwandte Themen