Körper |
| 30.11.2004, 16:23 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Körper ich habe paar Fragen zu folgenden Aufgaben (denke nicht dass ich es richtig alles habe ....) 1) Zeigen Sie (M,+;*) ein Körper ist +|0|1 0|0|1 1|1|0 und *|0|1 0|0|0 1|0|1 Meine Lösung: Bei M,+: Weil hier 0 neutrale Element ist, und zu 1 , 1 das inverse Element ist. Bei M,* : Weil 1 das neutrale Element ist. Sind meine Aussagen ausreichend? 2) Betrachenen Sie die Menge={0,1,2,3,4,5} Warum ist dieses {M,+,*} kein Körper? Meine Antwort: zu {M,*}: Weil 2,3, und 4 keine Inverse Elemente haben {M,+} : keine Ahnung - warum ist das kein Körper? vielen dank! |
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| 30.11.2004, 16:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei Aufgabe 2 fehlt die Festlegung der Verknüpfung. Aber ich vermutete, daß es sich um die Addition bzw. Multiplikation modulo 6 handelt. |
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| 30.11.2004, 16:34 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold Naja, genau genommen ist es ja für jedes denkbare +,* kein Körper, GF(6) gibt es ja schließlich nicht. 
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| 30.11.2004, 17:23 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja es handelt sich um Addition und Multiplikation modulo 6 und was ist mit meinen antworten? sind die ungefähr richtig oder fehlt da was? |
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| 30.11.2004, 17:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Körper
Streng genommen nicht. Die dargestellten Tabellen zeigen aber, dass dein {M,+,*} der Restklassenring modulo 2 ist. Damit sind Kommutativ- und Assoziativgesetze für + und * erledigt, die Distributivgesetze auch - falls du die Modulorechnung voraussetzen darfst. Und zum Körper fehlt dann nur noch die Existenz inverser Elemente für alle Nichtnullen - und das ist hier nur die 1 mit der Inversen 1.
Das reicht - wenn {M\{0},*} keine Gruppe ist, ist {M,+,*} kein Körper, die Additionsgruppe {M,+} ist dann völlig unerheblich. P.S.: {M,+} ist kein Körper, sondern nur die Additionsgruppe innerhalb des Körpers! |
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| 30.11.2004, 17:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Arthur Dent Ob dem Fragesteller der Hinweis auf Nichtexistenz von GF(6) wohl genutzt hätte?
@ wsch Die Antworten zu 2) stimmen. Bei 1) wären natürlich auch noch die Kommutativ- und Assoziativgesetze sowie das Distributivgesetz nachzuweisen. Es könnte aber sein, daß ihr schon nachgewiesen habt, daß für das Rechnen modulo n stets diese Gesetze gelten. Dann ist dieser Nachweis natürlich hinfällig. |
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| 30.11.2004, 22:05 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dankeschön! aber warum ist bei 2 Aufgabe Menge={0,1,2,3,4,5} bei {M,+} kein Körper? da hat doch jedes Element auch einen inversen Element? asozi, kom. und distru- gesetze gelten da auch. |
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| 30.11.2004, 22:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Von einem Körper spricht man nur dann, wenn für beide Rechenoperation "plus" und "mal" die 9 Körperaxiome erfüllt sind. Du kannst also nicht einfach eine Operation unberücksichtigt lassen. |
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| 30.11.2004, 22:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(Schade, dass du meine Antwort oben nicht gelesen hast.) Etwas ausführlicher: Der Körper {M,+,*} besteht zum einen aus der Additionsgruppe {M,+}, sowie der Multiplikationsgruppe {M\{0},*}. Jede Gruppe für sich muss die Gruppeneigenschaften erfüllen, außerdem müssen die Kommutativ- und Distributivgesetze gelten. Für M={0,1,2,3,4,5,6} hast du selbst gezeigt, dass {M\{0},*} keine Gruppe ist (wegen der fehlenden Inversen) - und das reicht!!! Und ich wiederhole mich: {M,+} ist schon deshalb kein Körper, weil dazu zwei Operationen gehören. |
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| 30.11.2004, 22:23 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
alles klar danke |
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