gleichmäßige konvergenz der geometrischen Reihe

18.04.2007, 18:36

Kassemattenklaus

gleichmäßige konvergenz der geometrischen Reihe

Hallo zusammen,

ich soll zeigen, dass die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D(0,1) \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergiert...

Mir kommt nur ein Widerspruchsbeweis in den Sinn.
Dabei komme ich aber rein gar nicht voran.

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

19.04.2007, 11:52

Abakus

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RE: gleichmäßige konvergenz der geometrischen Reihe
Was sind denn deine bisherigen Überlegungen bzw. was sagt dir deine Anschauung, wo die gleichmäßige Konvergenz "schiefgeht" ?

Grüße Abakus smile

19.04.2007, 17:22

Kassemattenklaus

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Meine bisherigen Überlegungen sind:

- die definition von gleichmäßiger Konvergenz zum Widerspruch bringen (wahrscheinlich existiert nicht für alle $\begin{eqnarray*} $\epsilon > 0$ \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ so dass die Bedingung $\begin{eqnarray*} $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} $x \in D(0,1)$ \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} $n > N$ \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

- wahrscheinlich wird es nah bei der 1 der Fall sein.....

19.04.2007, 19:28

Abakus

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Zitat:

Original von Kassemattenklaus
- die definition von gleichmäßiger Konvergenz zum Widerspruch bringen (wahrscheinlich existiert nicht für alle $\begin{eqnarray*} $\epsilon > 0$ \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ so dass die Bedingung $\begin{eqnarray*} $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} $x \in D(0,1)$ \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} $n > N$ \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

- wahrscheinlich wird es nah bei der 1 der Fall sein.....

Soweit ok. Die Grenzfunktion f musst du natürlich noch ermitteln.

Dann kannst du mit diesen Dingen einen indirekten Beweis starten. Wähle also zB $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ und schreibe einmal hin, was sich damit ergibt. Dann kannst du die Formel für die geometrische Reihe/Summe anwenden.

Grüße Abakus smile

22.04.2007, 20:11

DonKa

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"Soweit ok. Die Grenzfunktion f musst du natürlich noch ermitteln."

- mag ne dumme frage sein, aber wie mache ich das? rate ich einfach ne grenzfunktion? gibts dafür tricks?
oder geht das ganz anders? ^^

22.04.2007, 23:36

Abakus

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Zitat:

Original von DonKa
- mag ne dumme frage sein, aber wie mache ich das? rate ich einfach ne grenzfunktion? gibts dafür tricks?
oder geht das ganz anders? ^^

Oben ist ja schon von einer geometrischen Reihe die Rede. Dafür kennst du bestimmt eine Formel.

Grüße Abakus smile

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