Geometrische Beweise

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Beweise
Hi!

Ich habe mal vielleicht seltsame Fragen, und möglicherweise ist die Antwort ja trivial.

Behauptung: Durch zwei Punkte A,B geht stets eine Gerade.

Für A ungleich B ist die Behauptung klar. Aber für A=B existieren doch eigentlich unendlich viele Geraden durch den einen Punkt. Aber durch einen Punkt ist doch keine Ebene festgelegt. Also den Fall ausschließen, oder verwirrt

Behauptung: Durch drei Punkte A,B, C geht stets eine Ebene. Für die Fälle A ungleich B ungleich C ist alles klar. Was ist wenn A=B=C? Dann existiert ja auch nur ein Punkt - gleiches Problem wie oben verwirrt

Wie könnte man nun beweisen, dass jede Ebene wenigstens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte besitzt? Man kann hier nur auf das Axiomensystem aufbauen und nur wenige Folgerungen. Augenscheinlich ist mir das klar, nur wie beweist man das???

Danke für eure Antworten Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Wo steht denn in der Behauptung, dass die Gerade eindeutig sein soll Augenzwinkern
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass unendlich viele Geraden durch den Punkt gehen, oder???

Und kann ich dann auch sagen, dass unendlich viele Ebenen durch einen Punkt gehen???

Aber es ist doch völlig unklar, ob noch weitere Punkte existieren!?!? Oder denke ich da jetzt zu kompliziert?

Danke tigerbine Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Wer Fragen unklar formuliert, muss mit den daraus resultierenden Antworten

Durch 2 Punkte A,B geht stets eine Gerade

1. Da steht nicht 2 verschiedene Punkte (bei mehreren wird die Formulierung "paarweise verschieden" verwendet). Also ist der Fall A=B auch zu betrachten.

2. Da steht nicht "genau eine Gerade". Also gilt nur zu zeigen, dass es mindestens eine Gerade gibt, die durch die Punkte A,B geht. Im Falle A=B können da durch aus mehrere Geraden durchgehen.

Bei der nächsten Aufgabe ist analog zu Verfahren.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Zitat:
Original von vektorraum

Wie könnte man nun beweisen, dass jede Ebene wenigstens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte besitzt? Man kann hier nur auf das Axiomensystem aufbauen und nur wenige Folgerungen. Augenscheinlich ist mir das klar, nur wie beweist man das???

Danke für eure Antworten Wink


@tigerbine: Vielen Dank. Nun, aber dieser Beweis soll wohl etwas schwerer sein!?!? Auch nur direkte Folgerung aus den Axiomen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Da musst Du wenn etwas konkreter werden. Was steht Dir als Beweismittel zur Verfügung? Wie habt ihr eine Ebene definiert?

Gruß Wink
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Wir haben Vorlesung Grundlagen der Geometrie und fangen halt ganz unten an mit den Axiomensystem und haben bisher nur das Inzidenzaxiom gehabt. Hilbert soll dies wohl schon mal bewiesen haben, da es wohl nicht ganz so trivial ist wie es scheint - hab es aber nicht gefunden.
Eine Ebene haben wir demzufolge auch nur über die Axiome festgelegt - halt durch drei Punkte, eine Gerade und ein Punkt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Ok, also diese Vorlesung hatte ich nie und kenne das Axiom nicht. Leider habe ich es nicht ergoogeln können. Ebenen und so kenne ich mehr auch der lin. Algebra.

Dennoch verschiebe ich das jetzt mal alles in die Hochschulmathe.

Wenn es nicht zu lang ist, kannst du es ja vielleicht posten.

Gruß,
tigerbine
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
@tigerbine: Ist erledigt. Ich bin einfach den umgekehrten Weg gegangen und habe einen Beweis durch Widerspruch geführt. Hat einwandfrei geklappt und folgt direkt aus den Axiomen und ein bis zwei Sätzen.

Trotzdem vielen Dank Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Beweise
Gerne, und ich finde es toll dass Du dich nochmal gemeldet hast, und den Thread nicht "offen" gelassen hast Freude
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