Inverse Matrizen

30.11.2004, 17:59

Gast

Inverse Matrizen

Hallo!

Ich soll zeigen, dass eine (2x2)-Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genau dann invertierbar ist, wenn

i) a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 oder b $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist
und
ii) es kein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ K mit c = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ a und d= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ b gibt.

Ich weiß nicht, wie ich sehen kann ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht, ich weiß nur dass sie quadratisch sein muss und ich glaube sie darf keine Null-Zeile und -Spalte besitzen, oder? verwirrt

Ich hoffe mir kann jemand bei der Aufgabe helfen.
DANKE!

30.11.2004, 18:48

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir an die MAtrix ist invertierbar so ist

$\begin{eqnarray*} A*A^{-1} = E \end{eqnarray*}$

Das heißt Du bekommst ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten (die Werte von A sind ja mehr oder weniger bekannt). Eine möglichkeit zu zeigen das a != 0 und b != 0 ist jetzt einfach den Gaußschen algorithmus auszuführen und dann sollte irgendwo a oder b in einem Nenner stehen. Und schon hast Du die Aussage. Das ist zwar ein etwas schreibaufwendig sollte aber funktionieren. Die Idee dahinter ist, das das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A*A^{-1} = E \end{eqnarray*}$ nur lößbar ist wenn die Inverse tatsächlich exisitert. Und sie existiert genau dann wenn das Gleichungssystem lösbar ist. Daraus solltest du auf a und b kommen.

zu ii)

Das sollte auch aus dem Gleichungssystem ersichtlich werden wenn die Aussage denn gilt.

30.11.2004, 19:32

Auf diesen Beitrag antworten »

(@Mazze: Etwas einfacher hätte es schon sein dürfen...)

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

Also musst du "nur" zeigen, dass die Aussagen i),ii) äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} ad-bc\neq 0 \end{eqnarray*}$

ist, denn (ad-bc) ist ja die Determinante deiner 2x2-Matrix.

30.11.2004, 22:20

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur

Nun ja, aber auf Deinem Weg ist halt immer die Hürde das man "überlegen" muss. Per Gauß ist das einfach nur n stures Schema. Sicher nicht als "besser" zu bewerten, in etwa würde ich Deinen Weg auch bevorzugen, aber das tut nunmal nicht jeder.

(da gabs bei uns etwa Leute (großteil) die Aussagenlogische Formeln nur mit Wahrheitstabellen untersuchen wollten, auch wenns da mal so 5 oder 6 abhängige gab)

Zitat:

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

Bei uns war es so das die Determinante als Invertierbarkeitskriterium erst als letztes gelehrt wurde. Deswegen muss es nicht unbedingt sein das diese Aussage schon bekannt ist.

Neue Frage »

Antworten »

Inverse Matrizen

Verwandte Themen