polynom 3. grades nur 2 nullstellen |
| 30.11.2004, 18:39 | sweetsunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| polynom 3. grades nur 2 nullstellen f(x) = 2x³ - tx² + 8 t nun sollen wir t so definieren, dass es nur 2 Nullstellen hat... wie geht das denn, denn eine funktion 3. grades hat doch immer 3 nullstellen ...dachte ich ... liebe grüße, sweetsunshine |
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| 30.11.2004, 18:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gilt: ein reelles polynom vom grad d hat höchstens d nullstellen [einzige ausnahme: grad 0 und konstant 0....] mfg jochen |
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| 30.11.2004, 18:43 | sweetsunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
höchstens... also gibt es auch weniger nullstellen?? und was wär da dann t? |
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| 30.11.2004, 18:53 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also erstmal Ein Polynom n-ten grades hat höchstens n reelle Nullstellen. Das Polynom X² + 1 hat zum Beispiel garkeine reelle Nullstelle. Und jetzt Ein Polynom n-ten grades hat genau n komplexe Nullstellen. Die Lösungen von x² + 1 = 0 sind Du sollst t so bestimmen das dass Polynom 2 reelle Nullstellen hat. Das heißt irgendwann musst Du auf einen im reellen nicht definierten term kommen. Schon ein Paar Ideen? |
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| 30.11.2004, 18:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ein reelles Polynom dritten Grades nur zwei Nullstellen hat, dann muß es eine doppelte Nullstelle geben. Ich würde dir daher zum Ansatz raten. Multipliziere rechts aus und führe einen Koeffizientenvergleich durch. Du erhältst drei Gleichungen in . Aus zweien kannst du bestimmen. Und hast du diese, findest du auch . |
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| 30.11.2004, 18:56 | grumml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Funktin dritten Grades kann eine, zwei oder eben auch(höchstens) drei reelle(!) nullstellen haben. Wenn es 2 Nullstellen hat heißt das, dass die Funktion die x Achse einmal schneidet und einmal berührt. An der Berührungsstelle ist also ein relatives Mini oder Maximum. Du musst also t so wählen, dass ein relatives Extremum(1.Ableitung= 0) auf der x-Achse liegt. grumml... |
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| 30.11.2004, 18:59 | sweetsunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso nun auch a und b und wie kommt man auf diesen ansatz? @ mazze hm... ne, keine idee.... 
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| 30.11.2004, 19:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist die doppelte und die einfache Nullstelle, die das Polynom besitzen muß. (Faktorisierungssatz) Mit diesem Ansatz findest du also nicht nur das richtige , sondern auch noch gleich die beiden Nullstellen. |
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| 22.06.2005, 20:52 | Cardano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lösung Hi Ein Polynom 3.Grades hat nicht immer 3 Nullstellen. Bsp. 0 = x³ - 1 ==> x³ = 1 (dritte Wurzel ziehen) ==> x = 1 diese Gleichung besitzt nur x = 1 als Lösung Eigentlich hat ein Polynom 3.Grades entweder 1 oder 3 nullstellen (verschiedene natürlich) wenn x aus R ist. Da ein Polynom 3.Grades entweder streng monoton zunehmend/abnehmend ist in x Element R oder erst streng monoton zunehmend/abnehmend bis zum am weitesten links liegenden Extrema dann streng monoton abnehmend/zunehmend bis zum nächsten Extrema und dann wieder streng monoton zunehmend/abnehmend bis ins unendliche. ==> Du kannst die Aufgabe also eigentlich nicht lösen wenn x Element R sein soll, da du sonst entweder 1 oder 3 Nullstellen hast (Begründung oben) . Aber wenn du annimmst die Funktion hätte die Form 2(x-x(1))*(x-x(2))*(x - x(3)) und dann schließt du eins von x(1),x(2) oder x(3) aus der Definitionsmenge aus. Wenn die Nullstellen aber gleich sein dürfen dann kannst du den Ansatz (1) f(x) = 2(x-x(1))²*(x-x(2)) (2) f(x) = (die Funktion mit t) Dann setzt du (1) = (2) Dann folgt der Koeffizientenvergleich. Ich hoffen ich konnte dir helfen. |
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| 22.06.2005, 21:05 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist nur, was du als Nullstellen nimmst. Der Graph hat mit der x-Achse wirklich nur 2 Punkte gemeinsam, auch wenn man beim faktorisieren auf 2 identische Punkte anstatt dem einen stößt. Entweder man sieht das als 2 Nullstellen an oder wie die Aufgabe wahrscheinlich meint, als eine einzige. Und deine erste Aussage ist nur im Bereich der reelen Zahlen richtig, den es gibt für dein erstes Beispiel noch 2 komplexe Nullstellen |
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| 22.06.2005, 23:18 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Sciencefreak: Das, wovon Du geschrieben hast, man könne es als zwei Nullstellen sehen, zählt man eigentlich als eine (dafür doppelte) Nullstelle. LG |
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| 23.06.2005, 12:35 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist leider nicht immer so, es gibt auch Bundesländer wo einem beigebracht wird, dass dies 2 Nullstellen sind. Aber ich glaube es ist nicht mehr nötig sich hier über das Bildungssystem aufzuregen. Am besten jeder macht es anders, dann hat am Ende vielleicht sogar einer Recht |
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| 23.06.2005, 15:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schlimm genug! Sehen die das für an der Stelle x=0 auch so, oder wird nur für Polynome begrifflich eine Extrawurst gebraten? |
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| 23.06.2005, 21:56 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei mir in NRW sieht man das als eine NST, so wie ich das mitbekommen habe. Zumindest sehe ich das so 
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| 23.06.2005, 22:03 | Simonko_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde die gleichung dritten grades abspalten in einer gleichung 2 grades und einem term. dann hast du schon eine lösung. bei der gleichung 2 grades würd ich dann das delta so bestimmen das 0 rauskommt. |
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