Konvergenz von Lp-Normen für p -> oo

30.11.2004, 22:11	petersilie	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Lp-Normen für p -> oo Folgende Frage: Bekanntermaßen konvergieren die p-Normen gegen die Supremumsnorm für p -> oo. Gilt das auch für die Lp-Normen. I.e. konvergieren die gegend die ess.sup.Norm? Wenn ja, wie zeigt man das? Wenn nein, warum nicht? Danke
30.11.2004, 22:48	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Lp-Normen für p -> oo Von welchen Räumen sprichst du hier, ich vermute mal endliche Maßräume? Bei unendlichen (z.B. sigma-endlichen) Maßräumen gehören z.B. konstante Funktionen ungleich Null nicht zu L^p (also Norm unendlich), ein esssup existiert aber trotzdem. EDIT: Ok, dann gehe ich mal von einem endlichen Maßraum $\begin{eqnarray} L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray}$ aus. Sei $\begin{eqnarray} M=\mathrm{essup}\|f(x)\| \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \mu(\|f\|>M)=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mu(\|f\|>M-h)>0 \end{eqnarray}$ für alle h>0. Dann gilt $\begin{eqnarray} (M-h)^p\cdot\mu(\|f\|>M-h)=\int\limits_{\|f\|>M-h}~(M-h)^p~d\mu \leq \int~\|f\|^p~d\mu\leq \int\limits_{\|f\|\leq M}~M^p~d\mu=M^p\cdot\mu(\Omega) \end{eqnarray}$ Jetzt p-te Wurzel: $\begin{eqnarray} (M-h)\cdot\left(\mu(\|f\|>M-h)\right)^{1/p} \leq \\|f\\|_p\leq M\cdot\left(\mu(\Omega)\right)^{1/p} \end{eqnarray}$ Für p gegen unendlich konvergieren die (\mu(...))^{1/p}-Terme gegen 1.

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