Integralberechnung ohne Verwendung d. Maßtheorie

01.12.2004, 11:54

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralberechnung ohne Verwendung d. Maßtheorie

Hi!

Ich hab ein Problem und zwar soll ich dieses Integral :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty} \int_{0}^{n}~(1-\frac{x}{n})^{n}\times e^\frac{x}{2}~dx \end{eqnarray*}$

ohne Verwendung der Maßtheorie lösen. D.h. ich darf den Satz von Levi hier nicht verwenden.
Kann mir jemand helfen??? verwirrt

verwirrt

Grüsse
mikesch

01.12.2004, 14:27

eule

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist den ein Integral bei euch definiert? Ich war immer der Meinung das geht nur Maßtheoretisch.

01.12.2004, 15:46

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest natürlich versuchen, für festes n das Integral zunächst direkt zu berechnen. Die Stammfunktion des Integranden (nach n-facher partieller Integration) ist auf alle Fälle von der Struktur

Q(1-x/n)*e^{x/2}

wobei Q ein Polynom n-ten Grades ist.

Und dann für den entstandenen Ausdruck I(n), nach hoffentlich erfolgreicher Vereinfachung, "einfach" den Grenzwert berechnen.

01.12.2004, 16:01

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe - werds mal mit dem Ansatz von Arthur versuchen!

01.12.2004, 16:45

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab schon wieder eine dringende Frage:
Gegeben sind die Funktionen

fn(x)= $\begin{eqnarray*} (1- \frac{x^{2}}{n})^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
0 sonst

gn(x)= $\begin{eqnarray*} (1- \frac{x^{2}}{n})^{n+\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
0 sonst

zu zeigen

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~fn(x)~dx \ \times \int_{0}^{\infty}~gn(x)~dx = \frac{n}{n+1} \times \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Weiß überhaupt nicht wie ich beginnen soll!

Danke, den Wissenden!!

01.12.2004, 17:00

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Substitution

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{n}\sin z \end{eqnarray*}$

und anschließender mehrfacher partieller Integration sollte was zu machen sein, und das sowohl bei f_n als auch g_n.

Anzeige

01.12.2004, 17:11

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was mache ich mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ?

01.12.2004, 17:21

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mikesch
Aber was mache ich mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ?

Gerade wegen dieser Grenzen klappt ja meine vorgeschlagene Substitution, und zwar mit 0 <= z <= pi/2.

Außerhalb der Grenzen ist die Funktion gleich Null, daher ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty}~f_n(x)~dx=\int\limits_0^{\sqrt{n}}~f_n(x)~dx \end{eqnarray*}$

01.12.2004, 17:27

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Dacht schon, daß man's so macht. Wollt nur sicher gehen. Werd's jetzt mal versuchen.
DANKE DIR! Gott

Gott

01.12.2004, 18:35

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!!

Wenn ich jetzt im ersten Integral x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ * sinz setzte, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{n}}~(\cos^{2}(z))^{n}*\sqrt{n}*\cos(z)~dz \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg?

01.12.2004, 19:05

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mikesch
Bin ich auf dem richtigen Weg?

Ja.

Und für Integrale vom Typ

$\begin{eqnarray*} I_m := \int\limits~\cos^m(x)~dx = \int\limits~\cos(x)\cdot \cos^{m-1}(x)~dx \end{eqnarray*}$

gibt es Rekursionsformeln (I_m aus I_{m-2}), die man sich zur Not auch selbst per partieller Integration (Zerlegung: siehe rechte Formel) herleiten kann.

01.12.2004, 20:01

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich die beiden Integrale zusammenziehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~fn(x)~dx* \int_{0}^{\infty }~gn(x)~dx = \int_{0}^{\infty }~fn(x)*gn(x)~dx \end{eqnarray*}$

(nach Satz von Fubini)

oder ist das hier nicht erlaubt?

01.12.2004, 20:07

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn schon Fubini, dann so

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty }~f_n(x)~dx * \int\limits_0^{\infty }~g_n(x)~dx = \int\limits_0^{\infty } \int\limits_0^{\infty }~f_n(x)g_n(y)~dx~dy \end{eqnarray*}$

Aber hier nützt dir das nichts.

01.12.2004, 20:24

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist supi! Hab den Satz anscheinend nicht mehr so richtig im Gedächtnis gehabt.
Komm aber trotzdem nicht weiter.
Ich erhalte für mein Integral:

$\begin{eqnarray*} n*(\int_{0}^{\sqrt{n}}~(\cos(z))^{2*n+1}~dz*\int_{0}^{\sqrt{n}}~(\cos(z))^{2*n+2}~dz) \end{eqnarray*}$

01.12.2004, 22:31

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vergessen, die Integralgrenzen bei der Substitution mitzutransformieren, also
$\begin{eqnarray*} n*(\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~(\cos(z))^{2*n+1}~dz*\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~(\cos(z))^{2*n+2}~dz) \end{eqnarray*}$

Nun zu den Integralen selbst:

Für $\begin{eqnarray*} I_m :=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~\cos^m(x)~dx \end{eqnarray*}$ folgt mit partieller Integration für m>=2 unmittelbar

$\begin{eqnarray*} I_m = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~\cos(x)\cdot\cos^{m-1}(x)~dx = \sin(x)\cdot\cos^{m-1}(x)\Bigg|_{x=0}^{\frac{\pi}{2}}-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~\sin(x)\cdot(m-1)\cos^{m-2}(x)(-\sin(x))~dx \end{eqnarray*}$

also mit $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} I_m= (m-1)\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}~\cos^{m-2}(x)(1-\cos^2(x))~dx=(m-1)\cdot I_{m-2}-(m-1)\cdot I_m \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} I_m= \frac{m-1}{m} I_{m-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch I_0 und I_1 ausrechnen, dann hast du mit dieser Rekursion auch die anderen Werte.

03.12.2004, 12:10

mikesch

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur!

Hab das Beispiel jetz, glaub ich, gelöst.

$\begin{eqnarray*} I_{0}= \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{1}= 1 \end{eqnarray*}$
2n+1 - ungerade
2n+2 - gerade
Integral= $\begin{eqnarray*} n*I_{2n+1}*I_{2n+2} \end{eqnarray*}$
alle Glieder kürzen sich weg bis auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2}\times\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ->
Integral= $\begin{eqnarray*} =\frac{n}{n+1} \times \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Danke für Deine Hilfe!!!!
LG
mikesch

03.12.2004, 20:14

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »