lineare abbildungen

01.12.2004, 13:42	geostudentin	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abbildungen hallo! verstehe leider gar nichts von linearen abbildungen. versuche gerade aus einem buch schlau zu werde um ne übungsaufgabe zu lösen aber daraus werde ich auch nicht schlauer? es sei V und W Vektorräume über K und A:Vnach W eine bijektive lineare abbildung. wie kann man beweisen , dass die umkehrabbildung A^-1:Wnach V linaer ist. brauche mal ne erleuchtung danke
01.12.2004, 14:16	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss sich da Schritt für Schritt rantasten und erstmal alle Angaben ausschöpfen, die man zur Verfügung hat. $\begin{eqnarray} A : V \to W \end{eqnarray}$ bijektiv und linear. D.h. es existiert eine eindeutige Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} A^{-1}: W \to V \end{eqnarray}$ . Jetzt nehmen wir uns mal ein paar Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray}$ und bilden sie ab: $\begin{eqnarray} A(v_1) = w_1 \in W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(v_2) = w_2 \in W \end{eqnarray}$ Da wir unsere Umkehrfunktion annehmen dürfen, gilt auch: $\begin{eqnarray} A^{-1}(w_1) = v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}(w_2) = v_2 \end{eqnarray}$ Jetzt lässt sich schon die Additivität der Umkehrfunktion beweisen, denn wir können einfach mal addieren: $\begin{eqnarray} A(v_1 + v_2) = A(v_1) + A(v_2) = w_1 + w_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{-1}(w_1 + w_2) = v_1 + v_2 = ... \end{eqnarray}$ Ich hoffe dir ist der Ansatz klar.
01.12.2004, 14:30	julia21	Auf diesen Beitrag antworten »
muss man dann die homogenität nicht auch noch beweisen oder reicht dass wenn die additivität bewiesen ist?
01.12.2004, 14:31	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich musst du die Homogenität auch noch beweisen.
01.12.2004, 14:34	julia21	Auf diesen Beitrag antworten »
das wollte ich ja auch nur wissen. hab ja keine lösung verlangt.

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