Dualräume/Bidualräume und lineare Abbildungen

01.12.2004, 15:55	Mathestudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualräume/Bidualräume und lineare Abbildungen Hallo Leute, bitte schaut euch mal folgende Aufgaben an und gebt mir dann bitte einige Tips dazu. Vielen Dank Beweis zu H26 a) Voraussetzung: $\begin{eqnarray} b_{v}:V\rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V^{} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{v}(v):V^{}\rightarrow\mathbb{K}=V^{*} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{v}(v)(\xi)\mapsto\xi(v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{} \circ b_{v} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (f^{}(b_{v}))(v)(\xi) \end{eqnarray}$ (folgt wegen Voraussetzung) = $\begin{eqnarray} f^{}(\xi(v)) \end{eqnarray}$ Setze jetzt: $\begin{eqnarray} f^{}:=\xi \circ f \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (\xi(f))(w) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (\xi\circ f)(w) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (b_{w}\circ f)(w) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (b_{w}\circ f) \end{eqnarray}$ Zu H26) b) habe ich mir überlegt das die Abbildung $\begin{eqnarray} f^{}:V\rightarrow V^{} \end{eqnarray}$ isomorph ist. Falls das der Fall ist ist das $\begin{eqnarray} Bild(f) = Bild(f^{}) \end{eqnarray}$ nur wie zeige ich das mit dem Anfang Zu H26 c) Keinen Plan Zu H25 a) - d) Keinen Plan Hoffe mir kann jemand helfen. Wäre wirklich sehr wichtig Vielen Dank
01.12.2004, 22:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs mal nach HöMa verschoben auch wenns lineare Algebra ist
02.12.2004, 08:49	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe H25 ist machbar: Bei (a) sollst du zeigen, dass der Ableitungsoperator auf Polynomen eine lineare Abbildung darstellt. Dafür sei $\begin{eqnarray} f : x \mapsto \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, \quad g : x \mapsto \sum_{i=0}^{n} b_i x^i, \quad \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (\lambda f(x) + g(x)) = \lambda \frac{d}{dx}f(x) +\frac{d}{dx}g(x) \end{eqnarray}$ Zur Surjektivität solltest du dir überlegen, ob alle Polynome dieser Art durch Ableitung eines anderen Polynoms erzeugt werden können. Injektivität lässt sich durch ein Gegenbeispiel widerlegen (Stichwort: Wegfallen der Konstanten). Bei (b) geht man ganz ähnlich vor, benutzt jetzt aber nicht die Ableitung sondern die Multiplikation eines Polynoms mit x: $\begin{eqnarray} \left(\sum_{i=0}^{n} a_i x^i \right) \cdot x = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \cdot x = \sum_{i=0}^{n} a_i x^{i+1} \end{eqnarray}$ Bei (c) soll gezeigt werden, dass der Einsetzungshomomorphismus wirklich ein Homomorphismus (linear) ist. Bei (d) geht es entsprechend um Integration.

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