Integral

01.12.2004, 16:53	mikesch	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hab schon wieder eine Frage: Gegeben sind die Funktionen fn(x)= $\begin{eqnarray} (1- \frac{x^{2}}{n})^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray}$ 0 sonst und gn(x)= $\begin{eqnarray} (1- \frac{x^{2}}{n})^{n+\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq \sqrt{n} \end{eqnarray}$ 0 sonst zu zeigen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}~fn(x)~dx \ \times \int_{0}^{\infty}~gn(x)~dx = \frac{n}{n+1} \times \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ Weiß nicht wie ich beginnen soll. Danke den Wissenden!!
01.12.2004, 22:09	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube das ist nicht der eleganteste Ansatz aber partiell Integrieren geht. Für das erste Integral kann man den Integrationsbereich bei sqrt(n) abschneiden. Dann setzt man fn als u und 1 als v' an. Der Term mit uv fällt weg weil uv an beiden Rändern null ist. Damit kriegt man ein Integral der Form f(n-1)x^2 (Konstante) Wenn man in fn eine Term ausmultipliziert kriegt man auch f(n-1)*x^2/n - f(n-1). Das kann man jetzt so zusammenfassen, das gilt: \int fn = (2n-2)/(2n-3) \int f(n-1) \int f1 kann man noch einfach per Hand ausrechnen und damit hat man eine Produktformel für \int fn. Das gleiche Verfahren sollte bei gn auch funktionieren, wieder mit u=gn, v'=1 der uv Term weg. Wenn das alles geht, sollte es danach so weitergehen. Man kriegt (hoffentlich) wieder eine Produktreihe. Die beiden Produktreihen kürzen sich dann gegenseitig und die Pi/4 kommen von dem \int g1 .
01.12.2004, 23:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, viele Wege führen nach Rom. (mikesch hat offenbar doppelt gepostet.)

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