Monte-Carlo Methode

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Gonozal Auf diesen Beitrag antworten »
Monte-Carlo Methode
guten morgen smile

Ich hab da son kleines Probelm mit der MC-Methode.
Also ich habs (mit hilfe des beispieles Pie) verstanden, das ich über die Wahrscheinlichkeitsdichte Pie errechnen kann ( Pie=4 C/N)
Doch warum steht im Zentralen Theorem: http://home.arcor.de/cojack1/Zentrales%20Theorem.bmp
F(xi) und nicht C?

Hilfe verwirrt verwirrt

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AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monte-Carlo Methode
(Sowas wie Gleichung (11) zu schreiben, würde sich ein Mathematiker nie trauen! An den <...> ist deutlich zu erkennen, dass das wohl statistische Physiker verzapft haben. geschockt )

Von welchem "F(xi)" und "C" sprichst du eigentlich? Ich kann in dem Bildchen nichts dergleichen erkennen.
Gonozal Auf diesen Beitrag antworten »

hab das ganze aus dem hier: http://www.itp.tu-graz.ac.at/MML/MonteCarlo/MCIntro.pdf
ausgeschnibbelt
Und bei dem Beispiel mit Pie stand da C da hab ichs verstanden, aber warum steht da nun f(xi) ( ich meine das F(xi) nach dem Summenzeichen ^^)?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, in dem PDF-File ist das Grundkonzept von Monte Carlo erläutert.

In aller Kürze:

Statt das Integral direkt oder mit numerischen Standardverfahren (Simpson-Regel u.ä.) zu berechnen, "würfelt" man bei der MC-Methode N-mal gemäß der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte (im angegebenen Bild ist diese Dichte ) einer Zufallsgröße X; das Ergebnis sind N Werte x_1, ... , x_N.

Da der Mittelwert bekanntlich den Erwartungswert der Zufallsgröße f(X) [das ist das links stehende Integral in deinem Bildchen] schätzt, nimmt man diesen Mittelwert einfach als Approximation des Integrals.

Das ist eine im höchsten Grade saloppe Schreibweise für "plus/minus Standardabweichung der Funktionswerte der Stichprobe", also f(x_1), ... , f(x_N).
Gonozal Auf diesen Beitrag antworten »

um es salopp zu sagen ist das also die "Trefferwahrscheinlichkeit"? (also das 1/N SIGMA [f(xi)]

€: geht das dann nur im Intervall [0;1] oder in jedem beliebigen Intervall [a:b]
2€: Muss das dann nicht korrekt unter wurzel heissen SIMGA[F(xi)]/N ?

wenn das geklärt is hab ichs verstanden *freu*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gonozal
um es salopp zu sagen ist das also die "Trefferwahrscheinlichkeit"? (also das 1/N SIGMA [f(xi)]


Nein, ein wenig komplizierter ist es schon:

Es ist eine Schätzung für den Erwartungswert von f(X), wobei X eine stetige Zufallsgröße mit der gegebenen Dichte ist.

Beispiel: X ist normalverteilt mit Mittelwert und Streuung . Die Dichte dieser Normalverteilung ist dann



Wir würfeln gemäß dieser Normalverteilung aus (Wie das geht, steht in deinem PDF-File).

Für dieses X betrachten wir jetzt mal verschiedene Funktionen f:

a) f(x)=x

Dann wird (in Physikersprache) (d.h. der Erwartungswert von X) geschätzt durch



b) f(x)=x^2

Dann wird das zweite Moment von X (das ist bei der Normalverteilung gleich ) geschätzt durch



Das ganze klappt dann auch für beliebige andere Funktionen f(x).

Zitat:
Original von Gonozal
€: geht das dann nur im Intervall [0;1] oder in jedem beliebigen Intervall [a:b]

wenn das geklärt is hab ichs verstanden *freu*


Du spielst wahrscheinlich auf die gleichmäßige Verteilung auf [0,1] an (also was die "normalen" Random-Generatoren liefern). Die Methode hier ist allgemeiner: X kann einer beliebigen stetigen Verteilung unterliegen, in meinem Beispiel oben war es ja auch nicht die gleichmäßige, sondern die Normalverteilung. Für andere als die gleichmäßige Verteilung hast du nur das Problem des "Auswürfelns" (d.h., Erzeugen solcher Zahlen), aber das ist schon wieder ein anderes Thema.

Anmerkung:

So richtig Sinn macht die MC-Methode erst auf hochdimensionalen Räumen, wenn also X ein Zufallsvektor mit sehr vielen Komponenten ist. Ein Beispiel sind Teilchensysteme von vielleicht ein paar Tausend Teilchen, wo jedes Teilchen Position und Geschwindigkeit (also im Raum dann 6 Komponenten) als Variablen ins Modell einbringt. Und dann ein ineinandergeschachteltes Integral bestehend aus mehreren Tausend Integralen mit "normalen" Methoden numerisch auszuwerten, ist schlichtweg praktisch unmöglich - mit MC geht's dann schon eher (Stichwort Metropolis-Algorithmus).
 
 
Gonozal Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz wird mir das nicht klar..
warum kann ich mit den erwartungswert bestimmen?

und mit Intervall meine ich den Intervall in dem die Zufallszahlen liegen können.. kann ich den frei deffinieren?

Zum "saloppen" Wurzelausdruck muss es dann:Wurzel aus heissen? (sorry aber irgendwie mag mich der Formeleditor net)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gonozal
warum kann ich mit den erwartungswert bestimmen?


Nicht bestimmen, sondern schätzen - das ist schon ein Unterschied, weil du da natürlich noch einen Fehler hast, der aber für große N immer kleiner wird.

Ansonsten lies meine obige Antwort nochmal genau durch - oder besser noch, deinen File MCIntro.pdf, der ist (mit Ausnahme der für Mathematiker bisweilen fremden Symbolik - aber das ist wohl "mein" Problem) ganz gut geschrieben, da wird z.B. auch die gerade eben von dir angesprochene Problematik der Zufallszahlenerzeugung anderer Verteilungen ausführlich diskutiert.
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