zeigen sie |
| 01.12.2004, 17:04 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| zeigen sie ich habe vorgegeben das f(x+y)= f(x)*f(y) und f(1)=exp(c) nun soll ich zeigen das f(x)=exp(cx) ist also ich bin dann mal von hinten angefangen meine überlegungen exp(cx)=exp(c)+exp(x)=f(1)+exp(x) gut da hört das dann auf andere überlegung war, diesmal aber von vorne betrachtet f(1+[x-1])=f(1)*f(x-1)=exp(c)*f(x)*f(-1)=exp(c)*f(x)*(-1)exp(c) bin ich auf dem richtigem weg? wenn ja kann mir einer weiter helfen? oder sonst irgendwie helfen? danke im vorraus lg matze |
||
| 01.12.2004, 17:16 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: zeigen sie Nach logarithmieren, d.h., g(x)=ln(f(x)) erhält man die bekannte Cauchysche Funktionalgleichung (kannst ja mal nach diesem Begriff suchen) g(x+y) = g(x) + g(y) Unter der zusätzlichen Voraussetzung der Stetigkeit gibt es unter Vorgabe von g(1)=c nur die eine Lösung g(x) = c*x Der Beweis läuft etwa so: Man zeigt g(x)=c*x zunächst für alle ganzen und dann alle rationalen x. Anschließend zieht das Stetigkeitsargument. Anmerkung: Ohne die Voraussetzung der Stetigkeit gibt es auch andere, ziemlich "wilde" Lösungen der Cauchysche Funktionalgleichung. |
||
| 01.12.2004, 19:49 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: zeigen sie danke fuer die hilfe, so wie du es mir gesagt hast geht es bestimmt auch irgendwie aber ich hab jetzt die lösung |
||
| 01.12.2004, 19:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: zeigen sie Das ist genau der Teil für ganzzahlige x ... |
||
| 01.12.2004, 22:21 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
Darf man eigentlich auch so rechen, oder ist das nicht einwandfrei: f(x+y) = f(x)*f(y) laut Aufgabenstellung, dann formal differenziert nach x und y ergibt df(x+y)/dx = df(x)/dx*f(y) und df(x+y)/dy = df(y)/dy*f(x) also rein formal df(x+y) = df(x)*f(y) = df(y)*f(x) also df(x)/f(x) = df(y)/f(y) Hier hat man links eine Funktion von x alleine, rechts eine Funktion von y alleine, und das geht nur, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind, also df(x)/f(x) = K und ebenso df(y)/f(y) = K Wenn ich jetzt integriere, erhalte ich ln(f(x))= K*x + C (???, hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob man das so machen darf) und somit für f(x): f(x) = C*e^(K*x) Aus f(x+0) = f(x)*f(0) für y=0 in der Ausgangsgleichnung folgt f(0)=1, also gilt für die Integrationskonstante C=1, und aus der Aufgabenstellung f(1) = exp(c) folgt K=c, somit f(x) = exp(c*x) |
||
| 01.12.2004, 22:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Prinzipiell ist dein Lösungsweg richtig, aber hier setzt du sogar Differenzierbarkeit voraus. Wenn du das voraussetzen darfst, dann ist alles Ok. Nach deinem Lösungsweg ist es dann aber nicht ausgeschlossen, dass es nicht differenzierbare Lösungsfunktionen gibt. Wie ich oben geschrieben habe, reicht Stetigkeit aus, um auf f(x)=exp(C*x) als einzige Lösung zu kommen. (Dass diese Lösung dann letztendlich doch differenzierbar ist, hat mit diesem Unterschied der Voraussetzungen nichts zu tun.) |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 02.12.2004, 00:16 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, ich wollte mal sehen, ob man ohne Kenntnis der Lösung exp(cx) auf diese Lösung kommt. |
||
| 02.12.2004, 00:46 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine ähnliche Aufgabe ist übrigens: Es sei f(x*y) = f(x) + f(y). Ermitteln Sie die Funktion f(x). |
||
| 03.12.2004, 16:29 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: zeigen sie ok ich hab jetzt gezeigt wie oben das es für alle x element von N gilt dann das für minus 1 gilt und dann das es für alle -x element N gilt also für Z und dann das es für alle p,q element von Q gilt... und dann habe ich gesagt das jede Reelle Zahl durch eine rationale Zahl approximirbar ist, meine Frage ist jetzt wo muss ich das stetigkeitsargument ziehen? |
||
| 03.12.2004, 17:23 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok meine aufgabe war sei f:R-->R eine stefige Funktion mit f(x+y)=f(x)*f(y) für alle x,y € E. schliesslich sei c € R mit f(1)=exp(c). Zeigen sie, dass f(x) =exp(cx) für alle x€ R. ich habe es jetzt für alle Zahlen in Q gezeigt, und dann gesagt das jede Zahl in R durch Zahlen in Q approximierbar ist... muss ich da noch irgendwie mit der Stetigkeit der Funktion was begründen oder reicht das als satz wenn ja wie? |
||
| 03.12.2004, 17:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da die rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen dicht liegen, findest du für jede reelle Zahl x eine Folge (x_n) rationaler Zahlen mit . Somit gilt nach deinen bisherigen Erkenntnissen über f auf Q: letzteres natürlich wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion. Die Stetigkeit von f brauchst du nun in Gestalt von , die liefert dir nämlich die Funktionalgleichung nicht. Tatsächlich ist es so, dass es ohne diese Voraussetzung auch unstetige Lösungen gibt, mit sehr seltsamen Eigenschaften, wie z.B. nirgends (!) stetig. |
||
| 04.12.2004, 12:23 | matze2002 | Auf diesen Beitrag antworten » |
perfekt, danke dir! ich habs sogar verstanden 
|
||
|
|