Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt |
| 19.04.2007, 10:05 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt ich beschäftige mich mal wieder mit dem guten alten Spatprodukt. Bei meinen Berechnungen bin ich nun auf ein seltsames und eigentlich unmögliches Ergebnis gekommen. Vielleicht kann mir ja hier mal wieder jmd. weiterhelfen... Die Aufgabe habe ich mir mal selbst gestellt: Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mittels Spatprodukt(vektoriell). Ihre Seitenlänge s=240m. Ihre Spitze liegt 140m über dem Schwerpunkt. Die vier Punkte welche die GF umgeben nenne ich "A,B,C,D". Die Spitze wird mit "Sp" belegt. Ausgehend von den Vorgaben der Aufgabenstellung ergeben sich nun folgende Werte für die angesprochenen Variablen: A = (0;0;0) ->OVA B = (240;0;0) ->OVB C = (240;240;0) ->OVC D = (0;240;0) ->OVD Sp= (120;120;140)->OVSp Nun ran an die Flächenaufteilung und bilden der Spatprodukte pro Fläche: SeitenFläche 1: SkalarP(KreuzP(OVA,OVB),OVSp) = 0 SeitenFläche 2: SkalarP(KreuzP(OVB,OVC),OVSp) = 8064000 SeitenFläche 3: SkalarP(KreuzP(OVC,OVD),OVSp) = 8064000 SeitenFläche 4: SkalarP(KreuzP(OVD,OVA),OVSp) = 0 Summe = 16128000 übrig bleibt die Grundfläche... Da diese jedoch auf einer "Höhe" bzw."Ebene" liegt(-> alle z-Koord. sind gleich) kann die Berücksichtigung soweit ich weiss vernachlässigt werden da man als Ergebnis sowieso 0 erhält. Das Volumen berechne ich nun aus der Summe der Beträge der Einzelflächen, multipliziert mit 1/6! V= 1/6 * 16128000 = 2688000m³ Habe die geometrische Probe durchgeführt und siehe da es stimmt. Soweit so gut! Nun zum Problem: Ich dachte mir wenn ich die z-Koordinaten von 2 Punkten der GF verändere, diese somit keine Ebene auf einer Höhe mehr ergibt, müsste ich die GF ja zusätzlich in 2 Dreiecke aufteilen und mit Spatprodukt verrechenen. Habe die Variablen also wie folgt belegt: A = (0;0;2) ->OVA B = (240;0;2) ->OVB C = (240;240;0) ->OVC D = (0;240;0) ->OVD Sp= (120;120;140)->OVSp Ich habe nur bei A und B die z-Koordinate verändert! Der Schwerpunkt und die Koordinaten von C und D bleiben bestehen. Rein nach meiner Vorstellung, schneide ich also aus der zuvor berechneten Pyramide einen Keil längs der Seite AB aus. Und folglich sollte sich das Volumen doch nun verkleinern!!! Tut es aber nicht! Bei mir zumindest ... Also ich habe die Flächenaufteilung anschliessend so vorgenommen: SeitenFläche 1: SkalarP(KreuzP(OVA,OVB),OVSp) = 57600 SeitenFläche 2: SkalarP(KreuzP(OVB,OVC),OVSp) = 8064000 SeitenFläche 3: SkalarP(KreuzP(OVC,OVD),OVSp) = 8064000 SeitenFläche 4: SkalarP(KreuzP(OVD,OVA),OVSp) = 57600 GF Teil 1: SkalarP(KreuzP(OVA,OVB),OVC) = 115200 GF Teil 2: SkalarP(KreuzP(OVA,OVC),OVD) = 115200 Wie man sieht wird die Summe nun wesentlich grösser als bei der ersten Brechnung und auch wenn ich noch mit 1/6 multipliziere bleibt mein Volumen trotzdem grösser als das zuvor berechnete. Es sollte aber doch kleiner werden da ich am zuerst berechneten Körper doch etwas weggenommen habe. Was habe ich falsch gemacht? Wo liegt der Fehler? Gruß, tt |
||||
| 19.04.2007, 10:41 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt hallo tt: das ist so eine art vergewaltigung von spat- und exprodukt, nach dem motto, je umständlicher.... ich nehme an der "schwerpunkt" = mittelpunkt des quadrates. nun volumen neu: was hast du falsch gemacht? unabhängig von der form der grundfläche, also wozu trennen, was der mathematiker zusammengefügt hat 
werner |
||||
| 19.04.2007, 11:17 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt Hallo werner, habe es bisher leider nur so gelernt. Deine Methode ist ja mal wieder viel einfacher. In Deiner zweiten Formel hast Du aber glaub ich ein hoch2 vergessen.(bei 240) Mein erstes Ergebnis ist ja korrekt, das heißt das bis dahin noch alles stimmt. Du hast nun andere Werte bei der Höhenverteilung, das habe ich gemerkt, aber warum kann man es nicht so machen wie ich es beschrieben habe? Was war falsch an meiner Vorstellung? Warum bleibt die Spitze nicht da wo sie war? |
||||
| 19.04.2007, 11:41 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt das "²" habe ich nicht vergessen, das kann man hier nicht aus dem 2. vektor herausheben, da die letzte komponente -2 und nicht 0 ist. was verstehst du unter höhenverteilung? das ist der 3. vektor von den dreien, die den spat aufspannen, das spatprodukt des prismas. das von 3 vektoren aufgespannt wird, = grundfläche (= betrag des kreuzproduktes = geometrisch fläche des parallelogramms) x höhe(=skalarprodukt=projektion des 3. vektors auf das kreuszprodukt), unklar genug 
werner deine methode ist mir nicht ganz geheuer
und auch nicht klar, machst du da ein vektorprodukt mit punkten, ortsvektoren, oder was
|
||||
| 19.04.2007, 12:20 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt Danke für die Definitionen. also zu meiner Methode. OV.. bedeutet Ortsvektoren, genau! ich teile meine Flächen in Dreiecke auf und berechne daraus den Spat. Bei unserer Pyramide bietet sich das ja an. 4 Aussenflächen die schon von ihrer geometrischen Gegenbenheit her Dreiecke sind. Um die GF zusätlich einzubeziehen wäre auch diese in 2 Dreiecke zu zerlegen und zu berücksichtigen. In der ersten Volumenberechnung war die GF nun eine Ebene Fläche(alle z-Koord. =0) daher kann diese bei der Berechnung laut meiner Regel vernachlässigt werden. Sobald aber eine schiefe Ebene ins Spiel kommt muss diese immer mit einberechnet werden! Daher wollte ich die Aufgabe so umstellen um das zu testen... Setze ich nun Deine Werte für die OV der zweiten Volumenberechnung ein erhalte ich auch mit meiner Rechenweise, exakt das gleiche Ergebnis und die folglich gleiche Differnenz von 19200. Warum aber muss ich bei C und D, 2 abziehen anstatt, 2 bei A und B dazu zu zählen? Und warum muss ich bei der z-Koord. der Spitze 2 abziehen? |
||||
| 19.04.2007, 12:37 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt ich sage es mal so: weil die rechnung mit ortsvektoren humbug ist
abgesehen davon, wenn du das volumen eines würfels berechnen willst, ermittelst du ja auch nicht das volumen des universums und subtrahierst davon eine "urzelle". und anschließend hast du dann das volumen des würfels als differenz der beiden in richtiger reihenfolge. das sich eine solche vorgehensweise anbietet, na da bin ich zumindest anderer ansicht! und auch in der 2. berechnung liegen die 4 punkte A, B, C und D in einer ebene, ansonsten hast du keine pyramide mehr, da würde es dann aufwendiger und man müßte tatsächlich in teilkörper zerlegen. zu deiner letzten frage: der spat wird von den vektoren AB, AC und AS aufgespannt, daraus ergeben sich auch die richtigen werte. werner |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 19.04.2007, 13:04 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt Natürlich hast Du Recht mit Deiner Argumentation. Es geht einfacher, aber wir sollen eben Teilflächen bilden und das Volumen so berechenen. Im allgemeinen berechnen wir mit dieser Vorgehensweise auch das Volumen von Baugruben. Aber ab und an kommen mal andere geometrische Körper ins Spiel, wie zB eine Pyramide, die dann eben auch in Teilflächen zerlegt werden soll! Die Ortsvektoren der 2.Rechnung lauten A = (0;0;0) ->OVA B = (240;0;0) ->OVB C = (240;240;-2) ->OVC D = (0;240;-2) ->OVD Sp= (120;120;138)->OVSp damit komme ich zumindest auf dein Ergebnis. Die Ortsvektoren liegen zwar in einer Ebene aber nicht auf einer Höhe(unterschiedliche z-Koord.), das meinte ich damit. Und ich wollte ja die Spitze und die Punkte C und D da lassen wo sie sind, aber genau die haben wir verändert. Und jetzt nicht lachen aber gerade gestern noch habe ich ein Würfelvolumen mittels Spatprodukt berechnen müssen. 
Um das Ganze klarer zu gestalten: Ich wurde darauf hingewiesen, das sobald unterschiedliche z-Koord. bei der GF auftauchen, ich diese zerlegen und mit einrechnen muss. ->"schiefe Ebene"... Wie könnte ich denn die Pyramide aus der ersten Volumenberechnug verdrehen ohne das Volumen zu ändern? hätte gern mal ein Beispiel wo ich eben auch die GF zerlegen muss und miteinrechnen muss. Bei Volumenberechnug 2 die wir eben gemacht haben hatte die GF ja unterschiedliche z-Koordinaten, aber bei der Spatberechnung trotzdem 0. Was wäre ein Beispiel mit"schiefer GF" die man dan unter Zerlegung in Teilflächen miteinrechnen muss? |
||||
| 19.04.2007, 13:55 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt zunächst dazu: ein spat aus ortsvektoren ist "unsinn", wobei der ortsvektor ja nur ein spezieller vektor des vektors ist, der halt am ursprung festgemacht ist. wenn du also mit ortsvektoren rechnest, verweise ich auf meinen vergleich mit der berechnung des unversums oben. und noch einmal: mit dem spatprodukt berechnet man das von 3 vektoren aufgespannte volumen. daher ist es vollkommen egal, wo sich der körper letztendlich befindet. siehe auch meinen verweis unten betreffend rotation (und translation) zitat tt: Die Ortsvektoren der 2.Rechnung lauten original TA = (0;0;0) ->OVA B = (240;0;0) ->OVB C = (240;240;-2) ->OVC D = (0;240;-2) ->OVD Sp= (120;120;138)->OVSp das ist ein (richtungs)vektor, (spann)vektor oder einfach vektor der hier mit dem ortsvektor (=verbindung des punktes B mit dem ursprung O(0/0/0) ) übereinstimmt, weil der punkt A = O. und NICHT der ortsvektor von C, der ist enstsprechendes gilt für den rest. original tt: Wie könnte ich denn die Pyramide aus der ersten Volumenberechnug verdrehen ohne das Volumen zu ändern? hätte gern mal ein Beispiel wo ich eben auch die GF zerlegen muss und miteinrechnen muss.
jede drehung läßt das volumen invariant original tt: Bei Volumenberechnug 2 die wir eben gemacht haben hatte die GF ja unterschiedliche z-Koordinaten, aber bei der Spatberechnung trotzdem 0. Was wäre ein Beispiel mit"schiefer GF" die man dan unter Zerlegung in Teilflächen miteinrechnen muss?
was meinst du damit
wenn du unbeding zerlegen willst, berechne doch einfach die dreiseitigen teilpyramiden. ich weigere mich, etwas sinnlos zu verkomplizieren. an deiner stelle würde ich mir das ganze noch einmal verinnerlichen, und ..... werner |
||||
| 19.04.2007, 15:07 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt verinnerlichen ist gut, das versuche ich doch 
mir ist auch der Umstand meiner Methode klar. Danke für die Erklärung verstehe nun wie du auf die Vektoren kommst. Ich bin wirklich gerade im Universum dabei ist es ganz einfach, naja... Eigentlich hatte ich noch nie grosse Probleme mit dem Volumen und der Zerlegung. Nun hatten wir halt mal ne Aufgabe mit Volumenberechnung und dieser Pyramide wie im Beispiel 1. Das Lösen war ja nicht schwer, sogar mit meiner Methode... Als ich das Ergebnis vorlegte sagte man mir, dass ich daran denken soll, das die GF dann mit eingerechnet werden muss wenn die z-Koord. nicht alle gleich sind. Und wenn ich üben wolle, sollte ich die z-Koord. ändern und es mal prüfen. Daher kommt also meine "wahnwizige" Idee. In Beispiel 2 haben wir ja nun ungleiche z-Koord. bei der GF. Aber die Berücksichtigung der Grundfläche ergibt 0, genau wie im ersten Beispiel! Daher verstehe ich nicht ganz, warum ich die nun miteinrechnen muss? Bringt ja nix... oder ist das nur in diesem Beispiel so? Was meinst Du sollte ich zerlegen wenn ich unbedingt will? Die Pyramide? Habe ich doch schon... Hast Du nicht noch was anderes? Am besten was wo "alle" zerlegten Teilflächen miteingerechnet werden müssen. P.S.: Sorry aber war ja nicht meine Idee! 
|
||||
| 19.04.2007, 15:24 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt
na ich mache dir ja keine vorwürfe, aber ich würde lieber auf ein. zwei bier(e) gehen 
als meine zeit mit so einer umstandsmeierei zu verplempern, wenn es so viel einfacher (und richtiger) geht.ich verstehe überhaupt nicht, was das heißen soll "...dass die GF dann mit eingerechnet werden muss wenn die z-Koord. nicht alle gleich sind..", das ist doch unsinn um einen dichter zu nötigen, den ich sehr mag- er möge mir verzeihen -: es ist, was es ist, sagt das volumen..... es bleibt dabei und davon ein drittel das ist das mittel
ich vermute fast, du hast da etwas mißverstanden, wollte man
eben genau darauf hinweisen, dass die vektoren nicht stimmen
übe halt auf die "neue" weise. mit teilen meinte ich, zerlege das quadrat in 2 oder mehr dreiecke oder sonstige flächen. oder mache halt ein 6-eck draus oder, oder.... und was das wichtigste ist, die grundfläche kann in jeder beliebigen ebene liegen, damit solltest du das spatprodukt üben, DAS ist der vorteil dieser methode, dass ich eben nbicht die "zerstückelungstortur" anwenden muß, das machen die lieben vektoren für dich. werner |
||||
| 19.04.2007, 15:57 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt Ok Werner, ich habe verstanden. Habe nun mal die Pyramide in 4 gleiche Teilstücke zerlegt und anschliessend das Volumen eines Teilstücks berechnet. Und siehe da, es war ein Viertel des Gesamtvolumes, wie zu erwarten war. Also ich glaube mit meiner Zerlegungstaktik komme ich klar... Deine Tatik gewöhne ich mir nun aber auch an, damit mach ich dann die Kontrolle, um meine Lehrenden sanft auf die bessere Möglichkeit hizuweisen...
Denn wenn ich eine Aufgabe so rechne wie ich will, ob richtig oder superrichtig, spielt keine Rolle, ich bekomme in diesem Fach nur dann Punkte wenn ich den gewünschten Lösungsweg einschlage... Hart aber wahr :-) Naja was das mit der GF soll, versteh ich auch nicht, daher wollte ich das alles ja machen. Müssen also nur die Seitenflächen bei der Zerlegungsmethode berücksichtigt werden(ohne GF)? Oder sind Körper im allgemeinen immer auf allen Aussenflächen zu umfahren(mit GF)?? Dann zerleg ichs halt so und mach mit Deiner Methode ne TOP Probe, und ich bin mir jetzt schon sicher, das der Sachverhalt im nächsten Jahr weiniger umständlich gelehrt wird. 
|
||||
| 19.04.2007, 16:33 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt na an und für sich umfahre ich überhaupt nichts! ich wähle a) einen beliebigen eckpunkt b) 2 davon ausgehende vektorne bilden eine grundfläche, mit diesen bilde ich das exprodukt c) der 3. von diesem eckpunkt ausgehende vektor dient über das skalarprodukt als höhe fertig. die anderen flächen interessieren gar nicht! daher zum üben: a) wähle einen beliebigen eckpunkt b) wähle dann eine der 3 ebenen als grundfläche zur zerlegungsmethode siehe oben: da gehe ich lieber was
werner |
||||
| 19.04.2007, 16:55 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt Suppi habs verstanden! gewählter Eckpunkt ->A davon ausgehende Vektoren: a=OB-OA= [240;0;0] b=OD-OA=[0;240;0] Bildung Exprodukt(Kreuzprodukt) a x b =[0;0;57600] Berechnung Skalarprodukt SkalarP(KreuzP(a,b),[120;120;140]) = 8064000 V= 1/3 * 8064000 = 2688000m³ Perfekt! Dank Dir Werner und trink einen für mich mit!!! Gruß, tt |
||||
| 19.04.2007, 17:19 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Pyramidenvolumen mittels Spatprodukt
ich schicke dir dann die rechnung, ich bin ein starker trinker, manche sagen sogar leistungstrinker
schön, dass es dir jetzt klar geworden ist,werner |
||||
|
|
