Symetrie bei gebrochenrationelen Funktionen

01.12.2004, 18:04

Milkaschokolade

Symetrie bei gebrochenrationelen Funktionen

Hallo,
ich schreibe morgen Mathe-LK-12-Klausur u.a. über gebrochenrationale Funktionen.
Bei einer Kurvendiskussion zu folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} x^3/(x^2-1) \end{eqnarray*}$

(Wie stellt man die Formeln so schön da, wie ihr das immer macht?)

..sollen wir die Symetrie berechnen. dazu nehme ich zuerst f(-x):
dann steht im Zähler doch $\begin{eqnarray*} -x^3 \end{eqnarray*}$ und im Nenner bleibt es gleich, weil
$\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ ja dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist.... oder??? (die 1 hat ja nix mit dem x zu tun) und wenn man dann auf Punktsymetrie (Bedingung: f(-x) = -f(x) ) untersuchen will, müsste man das - ausklammern. Dann hab ich da raus im Zähler $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und im Nenner $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ das ganze in Klammern mit nem - davor. Also ist die Funktion bei mir weder achsen noch punktsymetrisch. Die Funktion ist aber punktsymetrisch (laut Buch und PC). Was hab ich falsch gemacht???
Bin für jede schnelle Hilfe dankbar!

01.12.2004, 18:17

grybl

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RE: Symetrie bei gebrochenrationelen Funktionen
den bruch bekommst du mit

code:
1:	[latex]\frac{Zähler}{Nenner}[/latex]

zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{-x^3}{x^2-1}=-\frac{x^3}{x^2-1}=-f(x) \end{eqnarray*}$

also:.....

wenn du -1 "ausklammerst" bitte nur einmal, entweder vom Zähler oder vom Nenner

übrigens ist x²-1 = -(-x²+1)

01.12.2004, 18:41

Milkaschokolade

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RE: Symetrie bei gebrochenrationelen Funktionen
Hallo, ich hatte das mit dem entweder Zähler-oder-Nenner-ausklammern nicht berücksichtige!!
Danke!

Kann sein, dass ich heute abend nochmal öfter mich an euch wende! Super Site!

01.12.2004, 19:09

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macht ihr da eine komplette Funktionsuntersuchung oder nur auf symmetrie, weil das eigentlich so schon abgeschottet von der Suche nach Extremwerten abläuft. Interessiert mich nur mal, was andere 12 Ma- Lkler so treiben.

01.12.2004, 19:15

Milkaschokolade

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Hi,
wir müssen ne komplette Kurvendiskussion machen.... finde ich total schwer, unser lehrer setzt so viel voraus.... vor allem bei den Grenzwertbestimmungen komm ich voll nicht klar....
wie siehts bei dir aus?

01.12.2004, 19:17

iammrvip

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welcher grenzwert denn??? meinst du um die asymptoten zu bestimmen??

01.12.2004, 19:29

Milkaschokolade

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ich meine dass, wenn man x gegen "unendlich" und wenn man das Verhalten an den Definitionslücken bestimmen muss.....

01.12.2004, 19:30

iammrvip

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na. deine funktion ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

dann bestimmtst du jetzt also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}\frac{x^3}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

was kannst du denn jetzt tun um den grenzwert zu bestimmen?? denk mal an die folgen.

01.12.2004, 19:34

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setze etwas kleines(1,1) und etwas größeres(100) für x ein und betrachte den Unterschied, so bestimmt man mit 'nem Taschenrechner den Limes.

01.12.2004, 19:35

iammrvip

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ja. aber das ist doch kein bestimmen...hier ist es doch auch ganz leicht. Freude

01.12.2004, 19:43

Milkaschokolade

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ich weiß, dass ich durch die größte Potenz teilen muss, und dann? Wie schreibe ich das dann alles auf?

01.12.2004, 19:47

iammrvip

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du könntest ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^2(x)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty}\frac{x}{1-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist eine nullfolge und das x geht nun immer mehr gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^2-1} = \infty \end{eqnarray*}$

merke dir mal:

immer wenn die höchste potenz im zähler größer als im nenner ist geht der graph für $\begin{eqnarray*} x \to \pm\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$

immer wenn die höchste potenz im nenner größer als im zähler ist, geht die funktion gegen 0

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