Häufungspunkte von Folgen |
| 01.12.2004, 18:47 | martn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Häufungspunkte von Folgen Mal ne aufgabe: Gibt es eine Folge im Interwall [0,1], die abzählbar viele Häufungspunkte hat? Aus meiner Sicht logische antwort: Ja, z.B: 1/n mit dem HP 0 Ich find diese Frage zu einfach für einen Studenten und ich denk der Prof hat sie nicht so gemeint, sondern eher: Gibt es eine Folge im Interwall [0,1], die abzählbar unendlich viele Häufungspunkte hat? Und hier fängt mein grübeln an...... 
Wenn ja, wie würde diese aussehen? Absolut keine Ahnung? Genau wie bei der Begründung zu meiner vermutung dass es keine solche folge mit überabzählbar unendlich vielen HPs gibt. Zufällig jemand mit Grips anwesend, der mir da helfen kann? cya |
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| 01.12.2004, 20:42 | martn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, überabzählbar viele häufungspunkte wären ja die reellen Zahlen im Interwall [0,1], aber da diese ja überabzählbar sind, kann ich sie doch gar nicht durch eine folge Xn (die jedem n aus lN ein xn zuordnet) darstellen, ist das denn schon die antwort? oder gibt es noch andere möglichkeiten eine folge zu konstruieren, welche überabzählbar viele HPs hat, oder lieg ich hier völlig falsch? 
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| 01.12.2004, 21:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst mal zu den Begriffen: "Abzählbar" wird meist als Abkürzung von "abzählbar unendlich" verstanden, also hat dein Prof. nur einfach abgekürzt... Jetzt zur Sache: Es ist durchaus möglich, dass eine Folge überabzählbar viele HP's hat. Bestes Beispiel sind die reellen Zahlen bzw. - um bei deiner Aufgabe zu bleiben - die reellen Zahlen des Intervalls [0,1]: Betrachte einfach die Folge (r_n) der rationalen Zahlen des Intervalls [0,1]. Eine solche Folge gibt es, denn die rationalen Zahlen sind ja bekanntlich abzählbar. Nun findest du aber für jede reelle Zahl a aus [0,1], also auch die irrationalen, eine Teilfolge von (r_n), die gegen a konvergiert. Somit ist jeder Punkt des Intervalls ein HP, die Menge der HP somit überabzählbar. |
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| 02.12.2004, 00:28 | martn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mmh..., sicher relativ logisch.(Danke Arthur) also nehme ich für das problem der überabzählbar unendlich vielen HPs die folge der rationalen zahlen im interwall [0,1].(#) die allgemeine abzählung der rationalen zahlen ist doch wie folgt: 1/1 , 1/2 , 2/1 , 1/3 , 2/2 , 3/1 , 1/4 , 2/3 , 3/2 , 4/1 ......... Hier taucht doch nun jede rationale zahl mehrmals auf. Wenn ich diese Folge dann nun analog auf mein interwall übertragen würde, darf ich dann auch sagen: meine Folge der rationalen zahlen im interwall [0,1] hat genau die rationalen zahlen als häufungspunkte. denn ich hätte ja wie bei der folge (-1)^n verschiedene zahlen unendlich oft enthalten, welche dann gleichzeitig HPs wären. Oder ist diese Überlegung komplett falsch? (1*) Weiterhin bräuchte ich eine Folge in diesem Interwall, deren HPs wiederum einen HP besitzen, welcher aber verschieden von den HPs der Folge ist. Ich behaupte das eine reelle Zahl für obige Folge(#) ein HP unendlich vieler HPs ist. Aber das wäre leider nicht die antwort auf mein problem. ich müsste sicherlich eine neue Folge konstruieren, um so etwas zu finden. Leider fällt mir so etwas nicht ein. Kann es also vielleicht sein, dass es eine Folge deren HPs einen von diesen HPs verschiedenen HP besitzen gar nicht gibt? (2*) |
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| 02.12.2004, 08:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was du mit deinen Überlegungen soeben bewiesen hast ist, dass jede rationale Zahl aus [0,1] ein HP deiner Folge ist. Was du aber nicht bewiesen hast ist, dass es nicht möglicherweise noch mehr HP gibt. 
Da dich meine obige Argumentation offenbar nicht überzeugt, mache ich einen Vorschlag: Nenne du mir irgendeine irrationale Zahl x des Intervalls [0,1], dann nenne ich dir eine Teilfolge (x_{n_k}) deiner Folge rationaler Zahlen (x_n), die gegen x konvergiert. |
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| 02.12.2004, 09:01 | martn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
/6 wäre da eine folge die gegen diesen wert konvergiert, die folge der rationalen zahlen im interwall [0,5,0,6]? Also kann es keine folge mit nur den rationalen zahlen als HPs geben, denn dann wären zwangsweise auch die reellen zahlen HPs? Oder?
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| 02.12.2004, 09:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x heißt HP, wenn eine Teilfolge gegen x konvergiert, das muss nicht die ganze Folge sein. Mit konvergiert die Folge p_n/q_n gegen die von dir genannte Zahl pi/6, und (p_n/q_n) ist eine Teilfolge der von dir angegebenen Folge aller rationalen Zahlen.
Richtig - denn die Menge der HP ist abgeschlossen (zumindest in R^d, in komplizierteren Räumen müsste ich mich erst mal wieder nach den feinen Unterschieden von Abgeschlossenheit, Kompaktheit, usw. belesen). Die Menge der rationalen Zahlen ist aber nicht abgeschlossen, ihre Abschließung ist ja gerade die Menge der reellen Zahlen. EDIT: Es gibt aber durchaus Folgen rationaler Zahlen mit abzählbar vielen Häufungspunkten, Beispiel: 1, 1/2, 1, 1/2, 1/4, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1, ... Diese Folge besitzt gerade die Häufungspunkte 1/2^n (n=0,1,2,...) sowie die 0, aber keine weiteren! |
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| 02.12.2004, 14:02 | martn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen herzlchen dank, athur da wäre nun nur noch das problem, eine folge zu finden deren häufungsnkte einen häufungspunkt haben welcher verschieden von den hps der folge ist. als ich bin immer noch der meinung dass es so etwas nicht gibt. es müsste ja ein HP sein welcher nicht in der folge enthalten ist, im bezug auf dein beispiel, würde am ehesten die null das erfüllen, aber diese ist ja trotz des nicht enthaltenseins in der folge auch HP. ja aber eine richige schlüssige begründung fehlte mir da noch. sei bitte nicht genervt von mir nochmal herzlichen dank bis dahin |
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| 02.12.2004, 14:13 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich oben schon geschrieben habe, ist die Menge H der HP abgeschlossen (kann man mit "Epsilontik" beweisen). Der Grenzwert x jeder konvergenten Folge (x_n) aus H muss somit wieder in H liegen, also selbst HP sein. Das war's schon... EDIT: "Genervt" bin ich höchstens, wenn die Leute unhöflich werden (ist mir hier leider auch schon widerfahren, aber lassen wir das...) |
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