Extremwertaufgabe

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01.12.2004, 18:56	Gouilaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Hallo Leute Ich hab folgende Extremwertaufgabe,welche mir etwas frust bereitet. Bestimmen Sie die größtmögliche Fläche des Rechtecks im Dreieck. Hier der Link zum Foto (ist bei gmx): Foto Hab leider keinen Webspace zum Uploaden. Müsst nur auf "Mediacenter starten" klicken & anschauen. Hab versucht soweit alles zu bennen. Falls es bessere Bennungen gibt bitte bescheid sagen Welcher Weg ist am günstigsten. ? Ich hab den Strahlensatz angewandt, damit man die beziehung von a im verhältnis des Dreick bekommt. Wie verläufts dann bitte mit b ? Brauch nur einen Ansatz. Der Rest müsste so klappen. Danke Gouilaz
01.12.2004, 19:55	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
habs mal gedownloadet und hier angefügt. mfg jochen
01.12.2004, 20:30	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann y in Abhängigkeit von x setzten! Dann ist´s nur mehr ein leichtes Spiel! Edit: Ungefähr so: $\begin{eqnarray} y(x)=x\cdot \frac{60}{80} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(x)=a(x)\cdot b(x) \end{eqnarray}$ Maximum: $\begin{eqnarray} \frac{dA(x_{0})}{dx}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}A(x_{0})}{dx^{2}}<0 \end{eqnarray}$ mfg
01.12.2004, 20:47	Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich denke, ich habe eine lösung. die aufgabe hat's aber doch ganz schön in sich! also, nennen wir den winkel in der rechten unteren ecke c. das schon mal vorweg. der flächeninhalt A ist ja A = ab. fehlt noch die nebenbedingung. mit pythagoras kennst du im unteren kleinen dreieck x² + y² = a². im großen dreieck gilt: cos(c) = x/a, also x = acos(c). jetzt wird's etwas trickreich. du betrachtest jetzt wieder sin(c), aber diesmal im kleinen dreieck rechts. da erhältst du sin(c) = b/(80 -x). außerdem taucht c als stufenwinkel auch noch im unteren kleinen dreieck auf, da steht dann: sin(c) = y/a. wenn du beide terme gleichsetzt, hast du: b/(80 - x) = y/a, also: y = ab/(80 - x). für das x setzt du jetzt noch von oben acos(c) ein, und kriegst: y = ab/(80-acos(c)). jetzt zurück zu pythagoras von oben: x² + y² = a² kannst du nun ersetzen durch: a²cos²(c) + (a²b²)/(80-acos(c))² = a² oder nach längerer (und bei mir vielleicht falscher, bitte überprüfen!) rechnung: b² = (80 - acos(c))²(1 - cos²(c)) also: b= (80 - acos(c))sin(c) das ist die benötigte nebenbedingung. die zielfunktion lautet also: A(a) = a(80 - acos(c))sin(c) oder A(a) = -a²cos(c)sin(c) + 80asin(c) mit cos(c) = 0,8 und sin(c) = 0,6 (vgl. großes dreieck mit hypotenuse 100), also: A(a) = -2,2*a² + 48a astreine quadratisch funktion mit maximum a_E = 21,818181... hoffe es passt alles, und falls es einfacher geht, lasst es mich wissen grüße, JAN
01.12.2004, 20:59	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja glaube eigentlich schon!: $\begin{eqnarray} y(x)=x\cdot \frac{60}{80} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(x)=\sqrt{x^{2}+y(x)^{2}}=x\cdot \sqrt{1+(\frac{60}{80})^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(x)=\frac{80-x}{\sqrt{1+(\frac{80}{60})^{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(x)=(x\cdot 80 -x^{2})\cdot \frac{\sqrt{1+(\frac{60}{80})^{2}}}{\sqrt{1+(\frac{80}{60})^{2}}} \end{eqnarray}$ Quadratische Gleichung! Bekomme aber auch anderes ergebnis! x = 40 y = 30 a = 50 b = 24 A = 1200 (Welches auch größer ist, wie deins!) mfg
02.12.2004, 17:29	Gouilaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand sagen wie murray auf die Beziehung $\begin{eqnarray} b(x)=\frac{80-x}{\sqrt{1+(\frac{80}{60})^{2}}} \end{eqnarray}$ gekommen ist ?
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02.12.2004, 19:09	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
die Lösung ist immer, das Rechteck hat die Fläche Fmax = g/2 * h_g/2 = Fdreieck/2 = 60*80/4 = 1200 . Edit Sah gerade mit Schrecken 'Bezeichnungswirrwarr'. Das 'a' bei MIR sollte selbstverständlich die komplette Grundlinie (Hypotenuse) des Dreiecks darstellen und NICHT die eine Seite des Rechtecks. Hab deswegen a zu g editiert.
02.12.2004, 19:17	Gouilaz	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. Wie ist murray trotzdem auf das b(x) gekommen ? Ich komm nicht dahinter .....
02.12.2004, 20:05	Gouilaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kriege langsam eine Krise ? Wie kommt man auf dieses b(x) ? Mit welcher Beziehung hat murray das gemacht ? Hilfe bitte!
02.12.2004, 20:46	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
80/60 = sqrt((80-x)^2 - b^2) / b (ähnliche ...) und nach b auflösen. .
02.12.2004, 22:26	Gouilaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Jetzt isses' ok. Danke

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