Extremwertaufgabe - Seite 2

29.08.2008, 15:38

Leopold

Zitat:

Original von Sweety912
In der 2.Ableitung eingesetzt und dann geguckt, was ein TP und HP ist.
5 ist dann die maximale Höhe.

Diese Argumentation ist nicht brauchbar. Da 50/3 nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt, kann man es auch nicht in die hundertfünfunddreißigste Ableitung einsetzen.

29.08.2008, 15:40

Sweety912

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Habens aber immer so gemacht.
Bei 50/3 ists ein Tiefpunkt und bei 5 ein Hochpunkt.

Aber das mit dem Definitionsbereich zeigts ja auch, dass die 5 stimmt.

29.08.2008, 15:48

Leopold

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Zitat:

Original von Sweety912
Habens aber immer so gemacht.
Bei 50/3 ists ein Tiefpunkt und bei 5 ein Hochpunkt.

Aber das mit dem Definitionsbereich zeigts ja auch, dass die 5 stimmt.

"auch" ist falsch. Du kannst 50/3 gar nicht irgendwo einsetzen, da V(x) gar nicht definiert ist für 50/3. Oder sagen wir es anders: 50/3 ist keine Lösung von V'(x)=0.

29.08.2008, 15:52

Sweety912

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Achso. Ich frag mal meinen Lehrer.
Habens bei den anderen Aufgaben immer über die 2. Ableitung bestimmt.

29.08.2008, 15:56

Leopold

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Ist dir eigentlich klar, was der Definitionsbereich von V(x) ist? Könntest du den einmal benennen?

29.08.2008, 16:02

Sweety912

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0 < x < 12,5 ?

29.08.2008, 16:07

WebFritzi

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@Sweety: Leopold hat schon recht. Du hast jetzt erstmal nur ein lokales Maximum der Funktion in ihrem Definitionsbereich bestimmt. Weiterhin muss es das einzige lokale Maximum im Innern des Definitionsbereiches sein. Aber es kann sein, dass die Randpunkte des Definitionsbereiches lokale Maxima sind. Das musst du noch ausschließen.

Hier ein Beispiel: Das globale Maximum ist bei Null, das lokale in der Nähe von 1/2.

EDIT:

Zitat:

Original von Sweety912
0 < x < 12,5 ?

Ist richtig. Deshalb macht es keinen Sinn, 50/3 = 16 2/3 einzusetzen.

29.08.2008, 16:13

Sweety912

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Ok. Nochmal DANKE Blumen

29.08.2008, 16:18

Leopold

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Es ist bei solchen Aufgaben möglich, die Randfälle (hier $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=12{,}5 \end{eqnarray*}$ ) als sogenannte Entartungsfälle zum Definitionsbereich dazuzunehmen. Dann könntest du folgendermaßen argumentieren:

1. $\begin{eqnarray*} V(x) \end{eqnarray*}$ definiert für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 12{,}5 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} V(0) = V(12{,}5) = 0 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} V(x) > 0 \end{eqnarray*}$ sonst

(Bei 3. kannst du so begründen: Entweder sagst du, daß sich im Falle $\begin{eqnarray*} 0 < x < 12{,}5 \end{eqnarray*}$ eine echte Schachtel ergibt, die ein positives Volumen haben muß. Oder du schaust dir direkt die drei Faktoren der ursprünglichen Definition von $\begin{eqnarray*} V(x) \end{eqnarray*}$ an, die alle drei positiv ausfallen.)

4. Aufgrund von 1., 2. und 3. muß sich im Innern des Definitionsbereichs ein globales Maximum befinden, das folglich auch ein lokales ist (anschaulich klar; mathematischer Hintergrund, sofern im Unterricht besprochen: Stetigkeit der Funktion). Also muß dort die Ableitung verschwinden.

5. Da die Gleichung $\begin{eqnarray*} V'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ nur eine einzige Lösung (Definitionsbereich beachten!) besitzt, muß dort das globale Maximum liegen.

Zweite Ableitung überflüssig!

29.08.2008, 16:20

Sweety912

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Okay, so haben wirs noch gar nicht gemacht bis auf 1. und sonst halt immer 2.Ableitung, aber die bringt ja dann nicht wirklich was.

29.08.2008, 16:24

WebFritzi

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[Hier stand Mist]

Beachte trotzdem: Durch das kurvendiskussionsmäßige Bestimmen von Extremstellen bekommst du nur lokale Extrema. An den Rändern des Definitionsintervalles könnte die Funktion noch größer bzw. kleiner sein.

29.08.2008, 16:26

Leopold

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Die zweite Ableitung brauchst du erst dann, wenn nicht von vorneherein klar ist, daß ein Maximum existiert, oder wenn sich bei der ersten Ableitung mehrere Nullstellen (im Definitionsbereich!) ergeben. Auf jeden Fall mußt du ein lokales Maximum im Innern des Definitionsbereichs immer noch mit den Randwerten vergleichen. Denn das globale Maximum einer Funktion kann auch am Rand angenommen werden, auch wenn dort die Ableitung nicht Null wird.

29.08.2008, 16:27

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi
Doch, und zwar um zu sehen, dass du in 5 ein lokales Maximum hast. Könnte ja auch theoretisch ein lokales Minimum sein.

Nicht wenn man argumentiert, wie von mir vorgeschlagen.

29.08.2008, 16:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von WebFritzi
Doch, und zwar um zu sehen, dass du in 5 ein lokales Maximum hast. Könnte ja auch theoretisch ein lokales Minimum sein.

Nicht wenn man argumentiert, wie von mir vorgeschlagen.

Schau mal mein Edit. Augenzwinkern

29.08.2008, 16:30

Sweety912

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Achso. Aber bei so Aufgaben ists ja klar, dass es ein Maximum sein muss und kein Minimum, was man sucht. Nur bei einer Funktionsuntersuchung weiß mans ja nicht.

29.08.2008, 16:35

Leopold

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Wenn du einmal vertieft in dieses Gebiet einsteigen willst, kannst du hier schauen. Ich habe das vor längerer Zeit einmal zusammengestellt. Es ist Schulstoff, ich bin das Problem aber durchaus auf schon etwas gehobenem Niveau angegangen.

29.08.2008, 16:38

Sweety912

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Sieht interessant aus. Werd ich mir mal bald genauer angucken.
Bin jetzt mal weg. Ich sag mal, bis bald, brauch bestimmt noch des öfteren eure Hilfe. DANKESCHÖN smile

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