Picard-Iteration

02.05.2009, 19:38

tigerbine

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Picard-Iteration

[attach]10402[/attach]

Wie geht man das an? Die Iterierten sollten allgemein ja die Gestalt haben:

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}(x) = y_a + \int_{a}^{x}~f(\xi , y_i(\xi))~d\xi,~y_0 \in C^0([a,b]) \end{eqnarray*}$

y_a ist der Anfangswert.

Teilaufgabe a

$\begin{eqnarray*} y_a = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - y(x) \end{eqnarray*}$

Was ist denn hier $\begin{eqnarray*} y_0(\xi) \end{eqnarray*}$ ? Ist das $\begin{eqnarray*} y_a \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Die Formeln würde ich nun mal aus http://www.matheboard.de/archive/26901/thread.html übernehmen. Machen wir aus dem xi ein t. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da es mir um die Struktur geht, schreibe ich auch "unnützes!" Hin. Von Unsinn ist o.B.d.A auszugehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y_0(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1(x)=0 + \int_0^x~t-0~dt = [\frac{1}{2}t^2]_0^x = \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2(x)=0 + \int_0^x~t- \frac{1}{2}t^2~dt = [\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{6}t^3]_0^x = \frac{1}{2}x^2- \frac{1}{6}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3(x)=0 + \int_0^x~t- \frac{1}{2}t^2+ \frac{1}{6}t^3~dt = [\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{24}t^4]_0^x = \frac{1}{2}x^2- \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_n(x) = \sum_{i=2}^{n-1} (-1)^i \cdot \frac{1}{i!} \cdot x^i \end{eqnarray*}$

1. Stimmt das?

2. Ist das schon explizit oder müsste man da einen Grenzwert angeben?

3. Wie lautet der Grenzwert? Big Laugh

Big Laugh

02.05.2009, 20:43

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Kann die Lösung $\begin{eqnarray*} x-\ln(1+x) \end{eqnarray*}$ sein? Problem ist nur, dass wenn ich es nicht über die Potenzreihendarstellung mache ich die DGL nicht bestätigen kann... verwirrt

verwirrt

02.05.2009, 21:33

vektorraum

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RE: Picard-Iteration

Zitat:

Original von tigerbine
Was ist denn hier $\begin{eqnarray*} y_0(\xi) \end{eqnarray*}$ ? Ist das $\begin{eqnarray*} y_a \end{eqnarray*}$ ?

1. Stimmt das?

2. Ist das schon explizit oder müsste man da einen Grenzwert angeben?

3. Wie lautet der Grenzwert? Big Laugh

Big Laugh

0. Wenn mit $\begin{eqnarray*} y_a \end{eqnarray*}$ der Anfangswert 0 gemeint ist, ja.

1. Ich habe das gleiche raus.

2. Nun ja, das ist ja eine rekursive Folge die du da hingeschrieben hast, d.h. $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ ruft sich durch $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ auf. Nun soll es halt noch explizit hingeschrieben werden (z.B. als Reihe).

Hinweis: Es kommt eine e-Funktion als Grenzwert raus.

02.05.2009, 21:44

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Naja, durch das oo wird es doch nicht wirklich besser....

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{i=2}^{\infty} (-1)^i \cdot \frac{1}{i!} \cdot x^i \end{eqnarray*}$

Was ist denn mit meinem Grenzwertvorschlag? Für die Tonne?

Eine E-Funktion? Mit wechselndem Vorzeichen verwirrt

verwirrt

02.05.2009, 21:51

vektorraum

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RE: Picard-Iteration
Warum nicht? Wie wärs mit

$\begin{eqnarray*} e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!} \end{eqnarray*}$ ???

Dann noch ein bisl ergänzen und du hast deine explizite Lösung.

02.05.2009, 21:57

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Boah, was bin ich doch unkreativ. Wenn es nicht genau so im Tabellenwerk steht, schon überfordert.... traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} y=\exp(-x) - 1+x \end{eqnarray*}$

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02.05.2009, 21:59

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RE: Picard-Iteration
Ach nein... Ist doch gut gelaufen!

Das ist korrekt Freude

Freude

Bei der zweiten Aufgabe kannst du analog vorgehen. Nicht wundern, die auftretenden Integrale sind etwas häßlich - aber man sieht sehr schnell wohin es geht.

02.05.2009, 22:01

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Mit Zunge

Mit Zunge

Danke. Ich versuche mich dann an der b). Sagst du mir noch,wo mein Fehler in dem ln Ansatz war?

02.05.2009, 22:04

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RE: Picard-Iteration
Kein Problem und gern geschehen smile

smile

Mmh... Der Ansatz wäre mir nicht unbedingt in den Sinn gekommen, da bei der benannten Funktion gar keine Fakultät in der Reihendarstellung vorkommt. Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot x^n \end{eqnarray*}$

Deswegen nicht unbedingt mein erster Gedanke.

02.05.2009, 22:06

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Danke. Damit habe ich meinen Fehler gefunden... Man kann sich ja alles schön gucken und schwups steht da ein "!", weil "+" und "-" so schon passen.... Finger1

Finger1

02.05.2009, 22:14

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RE: Picard-Iteration
Kann ja mal passieren... Wenn man sich etwas sehr wünscht, dann steht da auch manchmal ein bisschen mehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du die zweite noch rechnest schaue ich morgen drüber... Mach schon seit heute morgen Dgl - nu reichts.

Bis dann Wink

Wink

02.05.2009, 22:16

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Mach ich. Bis dann. Schönen Feierabend. Wink

Wink

02.05.2009, 23:21

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Aso, es ist doch

$\begin{eqnarray*} y(x)=\text{e}^{\cos(x)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0) = \text{e}^{\cos(0)-1} = \text{e}^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\text{e}^{\cos(x)-1} \cdot (-\sin(x)) \end{eqnarray*}$

Deswegen soll ich wohl wegen dem Anfangswert diesen verschobenen Cosinus nehmen... Aber bei Picard sehe ich nicht so recht, wie ich das da umsetzen soll. Da hängt es schon bei der ersten, dass es nicht mehr auf den Anfang der e-Funktion passt. verwirrt

verwirrt

03.05.2009, 11:05

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RE: Picard-Iteration
Also mich hat der Hinweis nicht weiter gebracht... Habs auch gaenzlich ohne den geschafft.

Wie sehen denn deine Picarditerierten aus? Bei mir läuft wieder alles auf eine wunderschöne e-Funktion hinaus Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2009, 12:00

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
So. Ich denke ich hab meinen Fehler von letzter Nacht gefunden....Dennoch ist der Groschen nicht gefallen...Ich verliere Summanden. Bei a) kam ja immer nur ein neuer dazu... Wo hab ich den Fehler gemacht?

$\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=1 + \int_0^x~-\sin(t)\cdot 1 ~dt = 1 + [\cos(t)]_0^x = 1 + \cos(x) - 1 = \cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=1 + \int_0^x~-\sin(t)\cdot \cos(t) ~dt = 1 + [-0.5\sin^2(x)]_0^x =1 - 0.5 \sin^2(x) = 1 + 0.5\cos^2(x)-0.5 = 0.5 + 0.5\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

03.05.2009, 12:18

vektorraum

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RE: Picard-Iteration
Seltsam verwirrt

verwirrt

Ich habe gerade gesehen, dass ich ein falsches AWP genommen habe... Also vergiss das mit der e-Funktion.

Hatte mich schon gewundert, warum ich den Hinweis nicht brauche. Aber so ist das Problem schon etwas knifflig.

Ich habe die gleichen Ergebnisse wie du bislang.

Ich muss jetzt aber mal nachdenken, wie man diese Funktion f=f(x) ins Spiel bekommt. Schon bei y_2 habe ich da gerade meine Probleme. Versuchen wir es gemeinsam?

03.05.2009, 12:22

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Ja klar. Versuchen kann ich es. Was hältst du denn von meinem Lösungsvorschlag (ohne Picard)?

03.05.2009, 12:28

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RE: Picard-Iteration
Ach ja, die Lösung habe ich übersehen. Die von dir angegebene Funktion erfüllt ja die Dgl und das AWP. Also ist das die Lösung. Und es taucht auch die Funktion auf. Mal dran rumbasteln, wie man darauf kommen könnte. Eventuell mal rückwärts probieren und die e-Reihe aufschreiben.... verwirrt

verwirrt

03.05.2009, 12:48

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
$\begin{eqnarray*} y_0 &&=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1&&=1 + \int_0^x~-\sin(t)\cdot 1 ~dt = 1 + [\cos(t)]_0^x = 1 +(\cos(x) - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 &&=1 + \int_0^x~-\sin(t)\cdot (1+(\cos(t)-1)) ~dt =1+\int_0^x~-\sin(t)\cdot 1 ~dt + \int_0^x~-\sin(t)\cdot (\cos(t)-1) ~dt \\&& = 1 + (\cos(x)-1) + (-0.5\sin^2(x)) - (\cos(x)-1) \\&& = 1 + (\cos(x)-1) + (0.5\cos^2(x)-0.5 -\cos(x) +1) \\&& = 1 + (\cos(x)-1) + 0.5(\cos^2(x)-1 -2\cos(x) +2) \\&& = 1 + (\cos(x)-1) + 0.5(\cos^2(x)-2\cos(x) +1) \\&& =1 + (\cos(x)-1) + 0.5(\cos(x)-1)^2 \end{eqnarray*}$

Bitte mal nachrechnen. Wenn es stimmt, wie kommt man da ohne Tipp drauf... Und warum ist das wirklich gleich mit dem, was wir zuerst hingeschrieben hatten.... verwirrt

verwirrt

03.05.2009, 13:08

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RE: Picard-Iteration
Ich habe nun das gleiche raus... Richtig hart wird es natürlich, wenn man dann die weiteren Glieder aufschreiben soll. Aber soweit stimmt das schon.

Damit ist dann auch der Hinweis sehr nützlich, weil man ohne den recht alt aussehe und auf eine Eingebung warten müsste Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist halt praktisch, wenn man nicht sofort alles wegsubtrahiert was da so rumsteht bei y_1... Analog bei y_2.

03.05.2009, 14:10

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Ok, danke. Dann sind wir hiermit durch. Wink

Wink

03.05.2009, 17:49

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
Nachtrag:

Es steht doch "nur" da, geben die die Folge explizit an. Damit ist ja eigentlich nicht der Grenzwert gemeint, oder? Man würde, bevor man den bestimmt (bei der b wär man ja ohne Tipp schon etwas angeschmiert) doch erstmal die Voraussetzung des Satzes von Picard-Lindelöf prüfen und dann versuchen den Grenzwert zu bestimmen? D.h. man müßte hier erstmal auf Lipschitz Stetigkeit prüfen?

Alternativ, falls man es "sieht", reicht das Ableiten als Nachweis?

$\begin{eqnarray*} |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

(a)

$\begin{eqnarray*} |(x-y_1)-(x-y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(-1)(y_1-y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |y_1-y_2| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

Da wäre zum Beispiel L=1 denkbar.

(b)

$\begin{eqnarray*} |(-\sin(x) \cdot y_1)-(-\sin(x)\cdot y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(-\sin(x)) \cdot (y_1-y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

Da man den Betrag des Sinus mit 1 abschätzen kann, könnte man auch hier mit L=1 die Bedingung erfüllen.

03.05.2009, 20:49

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RE: Picard-Iteration
Hi Tigerbine,

ja, ich glaube die Grenzfunktion ist in dieser Aufgabe gar nicht gefragt. Natürlich ist das Problem damit nicht hinreichend beantwortet. Was man noch machen müsste ist z.B. auch per vollständiger Induktion die Darstellung für die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Ferner müsste man die Konvergenz der Iterierten untersuchen und eine Fehlerabschätzung angeben. Zumindest mussten wir das so immer machen.

Ich denke aber, dass der Aufgabensteller dies nicht verlangt hat (bis auf evtl. die VI).

03.05.2009, 21:11

tigerbine

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RE: Picard-Iteration
"Versuchen Sie, die Folge exakt hinzuschreiben"... Das kann man auch ohne VI, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

PL hab ich mal ergänzt und die y durch Probe bestätigt. Ich warte dann einfach mal die Korrektur ab.

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