Summe über 1, k von 1 bis n

12.05.2009, 20:07

henri

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Summe über 1, k von 1 bis n

Hallo,
ich wiederhole gerade für mein bevorstehendes Physikstudium ein paar Mathegrundlagen, darunter auch das Summenzeichen. An und für sich ist das auch kein Problem, nur eines bereitet mir Kopfschmerzen. In meinem Buch (Mathematik, von Arens und Co) wird geschrieben, dass die Summe über 1, k von 1 bis n = n ist. Aber das verstehe ich nicht, da man, wenn man als fortlaufenden Index das k hat, ja auch ein k in der Formel braucht. Oder sehe ich das falsch?

Wenn man die Summe über 2m², k von 1 bis n hat, was ist das dann? Man hat ja auch hier in (2m²) gar kein k, über das man summieren könnte.

Wäre cool, wenn jemand diese Anfängerfrage beantworten könnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gott

Danke im Voraus
Grüße

12.05.2009, 20:28

vektorraum

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RE: Summe über 1, k von 1 bis n
Es wäre schön, wenn du den Formeleditor verwendest:

Meinst du beim ersten das folgende:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}=n \end{eqnarray*}$

Schreibe auch die andere Formel in der Art und Weise.

13.05.2009, 11:11

Henri

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Ja, ich meine

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}1=n \end{eqnarray*}$ ,
das ist aber, denke ich, äquivalent. Kannst du mir erklären, warum das jetzt genau n ist? Was summiert sich denn da zu n auf?

Die andere Formel war ebenfalls irgendeine zufällige, in der eben kein k vorkommt. Also zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} (2m²)=? \end{eqnarray*}$ mit m Element N, nur zum Beispiel. Wenn man über k summiert, aber in der Formel (2m²) gar kein k ist, was macht man dann? Für mich wäre dann die Summe 0 ...

Grüße

13.05.2009, 11:23

vektorraum

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Hier ist noch ein alter Artikel, der dir vielleicht hilft: Artikel

Zum anderen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}2m^2=2m^2\cdot \sum_{k=1}^{n}=\ldots \end{eqnarray*}$

Weißt du jetzt weiter?

13.05.2009, 11:24

Rare676

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Du summierst dann genau n mal deine 1.

Also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}1=n \end{eqnarray*}$ .

Also wäre $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} (2m²)=2nm^2 \end{eqnarray*}$ , weil da k eben nicht vorkommt. Du summierst also diese Konstante auch genau n mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2009, 11:25

Airblader

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Der Summationsindex muss mitnichten auch im Term, über den man summiert, auftreten.

Gehen wir zurück zum ersten Beispiel, bei dem man über 1 summiert.

Im Grunde steht da:
Wir starten mit k=1. Nun erhöhen wir k stets bis um 1, bis wir bei k=n angelangt sind. Und jedes Mal, wenn wir k um 1 erhöhen, addieren wie eine '1'.

k=1 -> 1
k=2 -> 1+1 = 2
k=3 -> 2+1 = 3
k=4 -> 3+1 = 4
...
k=n-1 -> n-2 + 1 = n-1
k=n -> n-1 + 1 = n

Edit:
Huch ... nun sind da gleich drei. Big Laugh

Big Laugh

Ich halt mich gleich mal wieder raus, da vektorraum ja da ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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13.05.2009, 11:27

Witzkuminator

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Zitat:

Original von Henri
Ja, ich meine

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}1=n \end{eqnarray*}$ ,
das ist aber, denke ich, äquivalent. Kannst du mir erklären, warum das jetzt genau n ist? Was summiert sich denn da zu n auf?

das was da steht heißt: du sollst die zahl 1 n-mal aufsummieren. du brauchst hinter dem summenzeichen nicht zwingend die laufvariable. wenn keine laufvariable im term vorkommt der aufsummiert werden soll ist das ganze sogar sehr einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}c=n\cdot c \end{eqnarray*}$ ,

wobei c eine konstante ist (unabhängig von k)

ausgeschrieben sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} c + c + c + ... + c + c = n \cdot c \end{eqnarray*}$ (es sind genau n summanden)

Zitat:

Original von Henri
Die andere Formel war ebenfalls irgendeine zufällige, in der eben kein k vorkommt. Also zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} (2m²)=? \end{eqnarray*}$ mit m Element N, nur zum Beispiel. Wenn man über k summiert, aber in der Formel (2m²) gar kein k ist, was macht man dann? Für mich wäre dann die Summe 0 ...

Grüße

analog ergibt sich (weil $\begin{eqnarray*} 2m^2 \end{eqnarray*}$ auch eine konstante ist) :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} (2m²)= n \cdot 2m^2 \end{eqnarray*}$

edit:

genau deswegen kann man konstanten aus dem summenzeichen vorziehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}c = c \cdot \sum_{k=1}^{n}1 \end{eqnarray*}$

13.05.2009, 11:43

Henri

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ooh, okay. Ich glaube, ich habe es verstanden.
Das heißt, wenn die Laufvariable nicht vorkommt, muss man einfach so oft, wie es einem das Summenzeichen vorgibt, den Term multipllizieren. Und wenn die Laufvariable vorkommt, ist die Schwierigkeit, dass sich der Term jedes Mal ändert, da k immer um 1 erhöht wird.

Wenn das so stimmt, dann vielen Dank für die Erklärung. Freude

Freude

Und gleich so viele auf einmal, da kann ja gar nix schiefgehen Prost

Prost

Grüße

13.05.2009, 15:04

Airblader

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Wenn du "multiplizieren" durch "addieren" ersetzt gebe ich grünes Licht Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

13.05.2009, 22:54

Henri

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Na ja, den Term aufaddieren oder eben n* Term multiplizieren.
smile

smile

Freude

13.05.2009, 23:30

Airblader

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So hast du es aber nicht gesagt.

Zwischen n*Term und "n Mal den Term multiplizieren" liegt ein himmelweiter Unterschied, denn Zweiteres wäre (Term)^n. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

23.05.2012, 18:35

User12345

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ich hätte zu dem thema mal ne frage:

was mach ich wenn gilt k=0?

also zb so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n k^{3} \end{eqnarray*}$

so wie ich das jetzt verstehe, müsste ich k³ 0 mal aufsummieren. aber das kann ja wohl kaum stimmen oder?

23.05.2012, 18:40

Airblader

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Nein, da steht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k^3 = 0^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 \end{eqnarray*}$

Das mit dem "soundsomal aufsummieren" gilt nur wenn der Summand nicht vom Summationsindex (hier k) abhängt.

air

23.05.2012, 18:40

Gast11022013

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k=0 ist ja nur dein Start wert.

Der wäre dann Null. Also kannst du auch genau so gut schreiben k=1

P.S. Irgendwie ist dein Name sehr unpassend. unglücklich

unglücklich

Edit: Zu spät. Wink

Wink

23.05.2012, 18:51

User12345

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ok dann hab ichs jetzt glaub geblickt. danke euch für die schnelle hilfe Freude

Freude

ist doch ein schöner name Tanzen

Tanzen

24.05.2012, 13:15

User12345

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kann man den term eigentlich noch weiter vereinfachen, wenn man die summe berechnen wollte?

wenn man das bei wolfram alpha eintippt spuckt der folgende lösung aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} n^{2} (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

da gibts doch sicher eine formel in der ich dann den term einsetze oder?

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