Dimension und Basis |
| 20.11.2009, 00:29 | Bullet1000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Dimension und Basis wie hatten diese Woche in der Vorlesung das Thema "Lineare Hülle" und "Dimension". Ich fand die Thematik soweit eigentlich recht verständlich. Doch jetzt scheitert es irgendwie an einem Praktischen Beispiel: In einem rellen Vektorraum R^5 seien die folgenden Vektoren gegeben a1=(1,-1,2,1,0) a2=(2,0,1,1,1) a3=(1,-1,1,0,1) a4=(5,-1,2,1,0) a5=(1,3,-1,2,-1) und es sei U1=span{a1,a2,a3} U2={a4,a5} Aufgabe: Bestimmen Sie die Dimensionen von U1 vereinigt mit U2 sowie U1+U2 und geben Sie Basen für diese Unterräume an. Ich habe bisher so gedacht, dass x*a1+y*a2+z*a3 linear unabhängig sind, genauso, wie a4 und a5. Also müssten sowohl U1, als auch U2 den gesamten R^5 aufspannen. Aber wie vereinige, bzw. addiere ich diese Unterräume? Ich hab da irgendwie keinen richtigen Plan. Danke schonmal vorab. Greets Bullet1000 |
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| 20.11.2009, 00:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Dimension und Basis 1. Bestimme einmal die Dimension der UVRs U1 und U2 2. Bestimme einmal, ob die 5 Vektoren linear unabhängig sind. 3. Was ist nun der Unterschied, zwischen der Vereinigung und der Summe von UVRs? Beschreibe die Elemente. 4. Ist denn die Vereinigung zweier UVR immer wieder ein UVR? (Gegenbeispiel) 5. Die Summe von UVR ist hingegen wieder ein UVR. |
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| 20.11.2009, 01:20 | Bullet1000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nach der Definition aus meiner Vorlesung entspricht der Dimension dieses Unterraumes die Anzahl der Vektoren, falls diese eine Basis bilden. Jedoch bin ich mit unsicher, ob die Basen für U1 und U2 bereits existieren. Fest steht a1,a2,a3,a4,a5 sind voneinander unanhängig, genauso, wie a1,a2,a3 und a4,a5 es ebenfalss sind. Damit ist schon mal ein Kriterium für eine Basis erfüllt. Aber das Problem ist, dass ich mit a1,a2,a3 nicht jeden beliebigen Vektor erzeugen kann. Wäre dies möglich, so wäre dim (U1)=3 und dim(U2)=2. Den Unterschied zwischen der Vereinigung und der Summe hab ich irgendwie nicht ganz verstanden. Also Summe ist mit klar. mit u1\in U1 und u2\in U2 mit u1+u2=x mit x\in V Aber die Vereinigung und der Unterschied zur Summe ist mir irgendwie nicht ganz klar |
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| 20.11.2009, 01:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Als lineare Hülle sind sie ein UVR. Sie haben auch (mind.) eine Basis.
Das ist schon mal ein weiteres Ergebnis. Wir haben dann einen UVR der dim 3 und einen der dim 2. Was bedeutetet es für den SChnitt der UVR, dass die 5 Vektoren l.u. sind?
Das ist aber doch klar. Der VR hat die Dimension 5 und du hast nur 3 l.u. Vektoren. Offensichtlich kann man mit diesen nicht jeden Vektor des VRs erzeugen.
Vereinigung heißt einfach, dass wir die Vektoren aus beiden UVR als neue Menge haben. Lies den Link und was Arthur über die Koordinatenachsen schreibt. Die Vereinigung ist das Koordinatenkreuz. Wir kommen aber nie in das Innere eines Quadraten. WEil benen keine LK der Vektoren aus den UVRs zugelassen sind. Das ist erst bei der Summe der UVRs der Fall und wir bekommen die Ebene IR² Die Frage nach Basis von (U1+U2) sollte klar sein und auch die Dimension. Was mich wundert ist, dass der Text so klingt, als wäre auch die Vereinigung der UVR ein UVR. Das passt imho nicht dazu, dass die 5 Vektoren l.u. sind. Denn eine LK eines Vektors aus U1 und einen Vektors aus U2 liegt nicht in der Vereinigung (außer man wählt mind. einemal den Nullvektor). Daher macht es imho auch keinen Sinn nach einer Basis zu fragen. |
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| 22.11.2009, 12:29 | Bullet1000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, ich muss mein Ergebnis nochmals berichtigen: Also die Vektoren a1,a2,a3,a4,a5 sind doch linear abhängig. Aber weiterhin sind die Vektoren a1,a2,a3 linear unabhängig und a4,a5 sind auch linear unabhängig. Das würde doch jetzt theoretisch folgendes bedeuten: dim U1=3 dim U2=2 Aber wie gehe ich jetzt weiter vor? |
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| 22.11.2009, 13:25 | Bullet1000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hat niemand kurz einen HInweis parat? Ich muss die Lösung bis morgen haben. |
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| 22.11.2009, 16:07 | Bullet1000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also meine Lösung wäre nun die folgende: dim U1=3 dim U2=2 dim U1 geschnitten U2 = 1 (da a4 lin. abh. ist von a1,a2,a3) dim U1+U2= dim U1+ dim U2 - dim U1 geschnitten U2 =3+2-1=4 Jedoch bin ich mir bei den Basen unsicher. |
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