Metrische Räume

20.05.2010, 12:00

Explo

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Metrische Räume

Ich dachte ja dieses Semester schaff ichs mal bissl länger alleine ;p aber nun ja.

Folgende Aufgabe:

Zitat:

a) Es sei: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R_{\geq 0} \to \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die streng monoton wachsend und konkav ist.

und $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Weiter sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen sie, dass

$\begin{eqnarray*} d_f : X \times X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \to f(d(x,y)) \end{eqnarray*}$

eine Metrik auf X ist.

b) Es seien ( $\begin{eqnarray*} X, d_X \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} Y,d_y) \end{eqnarray*}$ ) metrische Räume. Wir setzen

$\begin{eqnarray*} d_1: (X \times Y ) \times (X \times Y ) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \to max \left\{d_X(x_1,x_2),dy(y_1,y_2)\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_2: (X \times Y ) \times (X \times Y ) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \to d_X(x_1,x_2)+d_y(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_3: (X \times Y ) \times (X \times Y ) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \to \sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_y(y_1,y_2)^2} \end{eqnarray*}$

Überprüfen sie, dass d1,d2 und 3 Metriken auf X x Y sind.

c) Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Metrik $\begin{eqnarray*} (x,y) \to |x-y| \end{eqnarray*}$ versehen. Beschreiben sie die Metrik d2 aus Teil b) auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 = \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ und skizzieren sie B(0,1) für diese Metrik.

Sooo also mal bei a) angefangen.

Eine Metrik ist ja 'ne Abstandsfunktion/Abbildung mit (den) drei Eigenschaften. Die muss ich dann ja überprüfen oder?

also, wenn d = 0, dann x = y.

=> Also mal ausgehend, d = 0, dann ist x=y. Wenn x=y ist aber auch f = 0, da f(0) = 0 ist. Nur das haut ja hinten und vorne i.wie nicht hin :s .. Ich hab aber grad irgendwie keine Ahnung, wie ich das anders aufschreiben / machen soll.

d(x,y) = d(y,x)

Wie überpüf ich das'n? Reicht es, wenn ich da ansetze mit:

x,y -> f(d(x,y)) || d(x,y) = d(y,x) => f(d(y,x) <- y,x

bzw ist das dann der Beweis?

und die dritte Eigenschaft:

$\begin{eqnarray*} d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \end{eqnarray*}$

Da würde ich jetzt einfach "sagen", dass $\begin{eqnarray*} f > 0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x,z) \leq f(x,y) + f(x,z) \end{eqnarray*}$ ..

Soviel zu a)...

b,c) dann später.. Erstmal die Grundlagen versuchen zu verstehen. Danke, wer sich den langen Text durchliest und mir dann noch hilft. Danke danke danke

Ps. muss ich dann bei b) alle drei eigenschaften für alle 3 d's überprüfen?!

20.05.2010, 12:12

Cel

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Tagchen, Metriken ... da bin ich kein Vollprofi, aber mir sind Sachen aufgefalllen, die ich mit dir teilen möchte:

Ad a):

Du schreibst andauernd d. Um dieses d geht es aber nicht, sondern um $\begin{eqnarray*} d_f \end{eqnarray*}$ . d ist bereits eine Metrik. Sage dir also $\begin{eqnarray*} d_f = 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du folgern, dass x = y ist. Du benötigst dafür natürlich die Eigenschaften von f.

Symmetrie ist soweit ok, klappt allgemein, weil eben d eine Metrik ist.

Für die Dreiecksungleichung: Du hast noch gar nicht die Tatsache genutzt, dass f konkav ist. Was heisst das überhaupt?

Ad b)

Ja, für alle $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ müssen alle drei Axiome gelten.

Edit: Oh ja, Positivität hatte ich vergessen. Danke, Felix.

20.05.2010, 12:15

Felix

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Prinzipiell muss man auch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d_f \end{eqnarray*}$ immer größer Null ist.

20.05.2010, 12:21

Explo

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Aaah ok stimmt ..

also, wenn ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} d_f = 0 \end{eqnarray*}$ , dann weiß ich ja, dass $\begin{eqnarray*} f(d(x,y)) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist der fall, wenn $\begin{eqnarray*} d(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist und das wiederum, wenn x = y ... richtig?

@felix .. muss man? - Sind metriken so definiert?, weil bei meiner steht halt nicht extra, dass d ( in der Aufgabe halt $\begin{eqnarray*} d_f \end{eqnarray*}$ ) > 0 sein muss.

Oder hat das i.wie was mit den Eigenschaften von f zu tun, was ich ja mal stark vermute xD.

Wgn der Dreiecksungleichung .. f ist konkav. Hm mh Hm Das hab ich mich auch schon gefragt, was ich damit anfangen soll Oo

Also konkav heisst ja, dass sie rechtsgekrümmt ist. Nur wie bringtn mich das damit weiter?

20.05.2010, 12:24

Cel

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So weit richtig.

Zu der Positivität. Üblicherweise muss man das auch zeigen. Wenn's in der Aufgabe nicht drin steht ... ja ... Zeig es trotzdem, ist hier ja nicht schwer.

Du hast jetzt in Worten gesagt, was Konkavität heisst. Drück das doch mal in einer Formel aus (zur Not schlag's irgendwo nach).

20.05.2010, 12:34

Explo

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Aalso Definition einer konkaven Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t(f(y)) \end{eqnarray*}$

Das heisst ja dann (logischerweise) soviel wie, dass die Funktionswerte zwischen x,y unterhalb der Geraden zwischen beiden liegt.

Joar .. also mir is ja anschaulich grad völlig klar, wie das aussieht. und das der 3. Punkt dann oberhalb dieser Geraden liegt, weil da ja auch die Funktion ist.

Aber wie krieg ichn das formal aufs Blatt? =/

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20.05.2010, 12:47

Cel

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Was du jetzt mündlich beschrieben hast, ist aber Konvexität. Und ich glaube, die würde hier viel besser passen. Geht es wirklich um Konkavität?

Das sieht dort dann nämlich genau anders herum aus:

Bild

20.05.2010, 12:50

Explo

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Äh ich meinte über der geraden. Ja habs grad nochmal nachgelesen die Funktion ist konkav.

-> Bin jetzt mal bis heute abend weg (also nich wundern). Ich danke auf jedenfall schonmal für die Hilfe bis hier. Danke danke!

20.05.2010, 12:57

Cel

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OK, dann geht es dann weiter. Aber es ist doch alles in Ordnung. Fange so an:

$\begin{eqnarray*} d_f(x,z) = f(d(x,z)) \leq \dots \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst die Eigenschaften der Metrik d und das.

24.05.2010, 11:07

Explo

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RE: Metrische Räume
Erstmal nochmal danke.. und sry, dass ich mich bis heute nicht (mehr) gemeldet hab.

a) & b) hab ich soweit auch hinbekommen, zumindest glaub ich das Big Laugh

Big Laugh

nun aber zu c)

Zitat:

c) Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Metrik $\begin{eqnarray*} (x,y) \to |x-y| \end{eqnarray*}$ versehen. Beschreiben sie die Metrik d2 aus Teil b) auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 = \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ und skizzieren sie B(0,1) für diese Metrik.

Mir macht ja schon das verstehen der aufgabe zu schaffen.
Also..
Ich soll die Metrik
$\begin{eqnarray*} d_2: (X \times Y ) \times (X \times Y ) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \to d_X(x_1,x_2)+d_y(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ beschreiben ... Aber was heisstn das? muss ich jetzt alle 3 Eigenschaften nochmal für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ machen oder wie? Aber das ist doch dann der gleiche Beweis wie in Teil b)
B(0,1) skizzieren ... das ist doch die Umgebung oder? Nur was denn für eine Oo wir hatten die Definition eingeführt mit
$\begin{eqnarray*} B_e(a) \end{eqnarray*}$ ist die e-Umgebung von a

Hoffe mir kann da jemand mal auf die Sprünge helfen :/

24.05.2010, 21:46

Mad-C

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Ich würde "beschreiben" als "verbal beschreiben" verstehen.
Die Metrik sieht nach der Manhattan Metrik aus, und die lässt sich sehr gut verbal beschreiben.
Und dazu sollst du dann nochmal den Ball um den Ursprung mit dem Radius 1 skizzieren (Im |R^2 nennt man das Einheitskreis ;-) )

PS: Da ich gerade die selbe Aufgabe bearbeite, würdest du mir verraten, wie du mit Hilfe der Konkavität die Dreiecksungleichung gezeigt hast?

25.05.2010, 12:09

Explo

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Ich denke nun ist es zu spät mh? ;p

Ironischer Weise hab ich die Aufgaben vor 5 Minuten abgegeben und weiß jetzt schon kaum noch was von dem, was ich aufgeschrieben hab unglücklich

unglücklich

25.05.2010, 12:12

Cel

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@ Mad-C, falls es nicht zu spät ist: Genau so, wie ich geschrieben habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mr. Brightside
OK, dann geht es dann weiter. Aber es ist doch alles in Ordnung. Fange so an:

$\begin{eqnarray*} d_f(x,z) = f(d(x,z)) \leq \dots \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst die Eigenschaften der Metrik d und das.

25.05.2010, 13:47

Mad-C

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Ja Brightside, das ist mir schon klar, was und in welcher Form ich zeigen muss.
Aber wie du selber schon sagtest, wäre Konvexität viel sinnvoller. Bei einer konvexen monoton steigenden Funktion, geht das Zeigen der Dreiecksungleichung sehr leicht.

Aber bei einer konkaven Funktion komm ich einfach nicht sinnvoll weiter, weil die beschränkung die die Konkavität angibt (jedenfalls für mich) falschrum ist.

Grüße
Mad-C

PS: Es ist zwar in dem Sinne "zu spät" dass die Übungsabgabe schon war, aber es interessiert mich dennoch, ob der Fehler bei mir oder in der Aufgabe liegt.

25.05.2010, 14:11

Mad-C

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Der von dir verlinkte Post beinhaltet wie man f(a+b) <= f(a) + f(b) (genau hier bin ich stecken geblieben) für differenzierbares f mit den genannten Eigenschaften zeigt.

Geht das auch, ohne auf die Differenzierbarkeit zurückzugreifen, oder ist jede Funktion die streng Monoton wachsend und konkav ist differenzierbar?

25.05.2010, 14:44

Cel

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Zitat:

Original von Mad-C
oder ist jede Funktion die streng Monoton wachsend und konkav ist differenzierbar?

Zumindest ist sie es fast überall. Aber dass in dem Link differenzierbar gefordert ist und hier nicht, habe ich tatsächlich übersehen. Sorry. Allerdings wäre es ja auch schon mal was, zu wissen, dass die Dreiecksungleichung fast überall gilt.

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