Maximale negative Steigung

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locloc Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale negative Steigung
Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit einer Funktion, die lautet wie folgt:

Zeichnen etc. habe ich alles schon gemacht. Nun ist eine Teilaufgabe, dass der Abbau eines bestimmten Stoffes (das ist der Graph) bestimmt werden soll, also an welcher Stelle der Abbau maximal ist.

Meine Idee: Das ist dort wo auch die Steigung am "negativsten" ist. Ich weiß jetzt nicht ob wir das nur am Graphen ablesen sollen oder rechnerisch bestimmt sollen, ich würds gern rechnerisch machen (sofern man dafür nicht Verfahren braucht die ich noch nie hatte), aber weiß nicht genau wie ich das rechnerisch angehen kann. Ich kann mit bloßem Auge auch nicht erkennen wo das wäre, ich würde sagen irgendwo zwischen 2,5 und 6 auf der x-Achse... Ziemlich ungenau.

In der nächsten Aufgabe steht, dass wir annehmen sollen, dass die ermittelte max. Abbaurate ab der Zeit beibehalten werden kann. Ist das vllt ein Hinweis?

Einweiterer Teil der Aufgabe ist, dass wir ein graphisches oder rechn. Verfahren zur Bestimmung des Zeitpunktes, ab dem der Stoff vollständig abgebaut wäre, entwickeln sollen. Uff. Absolut keine Ahnung!

Wie kann ich sowas berechnen?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weißt wie man ableitet, dann hast du schon alle Kenntnisse.

Was ist die Ableitung einer Funktion? Kann man diese Ableitung wieder auf Extrema untersuchen?
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt dir der Wendepunkt einer Funktion etwas? smile
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok! Klar! Ableitung wäre:


Aber Extrempunktbestimmung bei ner e-Funktion? Ich würde jetzt erstmal die Funktion gleich null setzen. Aber dann wirds für mich schwierig irgendwie weiter zu machen. Denn ich bekomme ja (selbstständig) auf der rechten Seite nix weg. Zumindest weiß ich nicht wie ich das e da wegbekomme. Irgendwie kann ich mit der Gleichung dann nichts mehr anfangen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

benutze den satz vom nullprodukt,
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüf nochmal deine Ableitung, dir ist da ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Vorzeichenfehler? Ich finde da keinen. Die Ableitung von ist doch auch wieder , und die Produktregel besagt doch . Ich sehe gerade nicht wo da was negativ werden sollte.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von locloc
Die Ableitung von ist doch auch wieder

Nein unglücklich

Es stimmt, dass ist, aber . Du musst hier die Kettenregel anwenden bzw. direkt für die e-Funktion umgewandelt: .
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, dann hab ich mich zu doll auf diesen Thread verlassen
Zitat:
Zitat: Original von TobsenMH wenn ich e^-x ableite ist das doch -e^-x und die zweite ableitung dann wieder e^-x ,... [\quote] Japp. das stimmt.

http://www.matheboard.de/archive/12308/thread.html

Mit der Funktion bzgl Kettenregel komme ich überhaupt nicht zurecht bzw bringt mich das total durcheiander. Wieso denn jetzt die Ableitung von e'(f(x) und nicht mehr f'(x)? Da steige ich gar nicht durch, weil ich ja jetzt auch nicht wirklich weiß was f'(x) ist, meins ist ja irgendwie falsch, verstehe aber grad irgendwie immer noch nicht warum. Ich habe ja auch nicht e^f(x) sondern e^x. Von daher komme ich auch grad mit der Notation von dir nicht klar, Lorek. Sorry.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Zitat steht auch die richtige Ableitung, lies mal genauer nach!

Du musst die Ableitung von bilden. Wenn du mit meiner Notation nicht klar kommst, kannst du auch auf die allg. Kettenregel zurückgreifen, dann wäre die e-Funktion deine innere Funktion, -x ist deine äußere Funktion.

Und bitte ohne "L", das ist ein "Iiiieh" Augenzwinkern
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, sorry (wegen des L's) Big Laugh

Ok, wenn ich das bekannte "innere mal äußere" -Prozedere mache komme ich auf , da hab ich wohl nicht richtig geguckt. Bei der Hitze möge man mir dies verzeihen Augenzwinkern

Klar, dann hab ich natürlich andere Vorzeichen. Nämlich:


Dann macht mir wieder das ausklammern Probleme unglücklich Da ich ja ein - vor dem einen e^-x stehen habe, kann ich e^-x ja eigentlich nicht ausklammern, und ist ja auch nicht so ganz richtig, da dann ja nur -4x² negativ wird, aber nicht das e^-x .... Mhm... aber zumindest das mit der Kettenregel hab ich verstanden (Dafür den Rest nicht )
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo macht dir das Ausklammern denn Probleme? Ist doch alles richtig Augenzwinkern

Jetzt kannst du von deiner Ableitung die Extrema bestimmen smile
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Flüchtigkeitsfehler.

Ok, wenn ich den Satz des Nullprodukts anwende, dann sieht es so aus dass alles Null wird, wenn x null ist.

Aber weiter komme ich nicht, da ich nicht weiß wie ich mit dem e verfahren soll. Das verschwindet ja nicht so einfach. War es vielleicht dumm das auszuklammern? Denn wenn ich die Funktion habe, könnte ich ja wenigstens einen Teil (aufgrund des +) auf die andere Seite bringen, und das würde sich rauskürzen. Dann hätte ich - nachdem ich die -8x wieder "rüberbringe", 0=4x²+8x . Und könnte jetzt mit p-q-Formel oder so rangehen. Ist das wirklich so einfach dann? (Kann ich mir ja nicht vorstellen. )
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du denn das "rauskürzen"? verwirrt

Das Ausklammern ist schon der richtige Weg, du musst das nur richtig anwenden:

, das ist deine Gleichung, jetzt verwende den Satz vom Nullprodukt.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Rauskürzen wie folgt:




Dann habe ich doch auf beiden Seiten. Oder geht das nicht wegen der Multiplikation? Bin grad echt etwas verwirrt verwirrt

So, mit der pq-Formel habe ich nun für x2=0 heraus, für x1=-2. Kommt das so hin?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

1.
2. Das kannst du so machen, mit dem Satz vom Nullprodukt machst du aber eigentlich kaum was anderes (und vor allem schneller).
3. Wieso sollte die Potenz von nicht 0 sein dürfen?
4. Wir wollen die Extrempunkte der Ableitung bestimmen, dazu musst du aber nicht die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen sondern von...?
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

3. Naja, die Zahl hoch gar nichts ist doch dann auch null (oder eins? Ich bin grad echt verwirrt).

4. Die Extrempunkte der Ableitung wären dann die Nullstellen der zweiten Ableitung. Also die Wendestellen der Funktion...oh nein, nochmal ableiten geschockt

Also war bis jetzt alles mit dem Nullprodukt etc schon umsonst? Weil ich die ganze Zeit die zweite Ableitung hätte nehmen müssen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

, also kannst du die 0 ruhig da einsetzen.

Und ja, wir suchen die Wendestellen der Funktion, also nochmal mit der Produktregel ableiten.

Tipp: Verwende zum weiteren Ableiten, damit sollte das einfacher gehen.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich gemacht, das wäre dann (wenn ich mich nicht wieder vertan habe):


Wobei ich wieder unsicher bin, denn man könnte ja jetzt noch die Kettenregel einbringen, wegen des , oder? (Mhm, wobei das habe ich ja gemacht in dem ich abgeleitet habe.

Abgelitten habe ich bis jetzt auf jeden Fall schon ganz schön. Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2. Ableitung stimmt soweit, ich würde aber wieder ausklammern, damit wird die weitere Rechnung vereinfacht.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre das dann wenn ich beide Klammern gleich zusammenfasse?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist grad noch ein Fehler aufgefallen: , da ist ein Vorzeichendreher bei dir. Ausgeklammert wäre das dann .
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok, aber da steht doch ein - vor der Klammer,

müsste das daher nicht -8x-8 sein? Wegen Minus und Plus gleich Minus?

Edit: ok, ich weiß nicht warum ichs vor die Klammer geschrieben hat. Sollte ja eigentlich nur vors 8x... Dann kommt natürlich +8 raus.

Aber wann wird denn Null? Wenn die Potenz schon null sein darf...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minus ist da eben falsch, wo kommt das überhaupt her?
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Sag ich ja, war Käse. Wo es herkam: keine Ahnung warum ich es dort gesetzt habe.

Wann e^{-x} null wird, weiß ich nicht.

Aber der Rest der Gleichung wird null, wenn ist und
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

wird niemals null, das ist eine (wichtige!) Eigenschaft der e-Funktion bzw. der Exponentionalfunktion. Deine anderen Nullstellen stimmen aber smile

Das war die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt, was fehlt jetzt noch?
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Die hinreichende Bedingung würd ich sagen. Also f'''(x) muss ungleich null sein.

Als dritte Ableitung habe ich .

Das heißt also auch da wieder, den Term in der Klammer mit zB pq-Formel untersuchen? Müsste es ja.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dritte Ableitung stimmt Freude

Aber wieso willst du den Term in der Klammer untersuchen? Was besagt denn die hinreichende Bedingung? In welchem Zusammenhang steht das mit den errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung?
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso, ich muss die Nullstellen aus der zweiten Ableitung dort einsetzen, oder? Und dann muss ein Ergebnis ungleich null rauskommen, wenn ich jetzt nicht wieder völlig daneben liege...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau smile

Und da wir einen Tiefpunkt der Ableitung suchen, muss da nicht nur ein Wert ungleich 0 rauskommen, er muss sogar größer null sein, ansonsten liegt ein Hochpunkt vor.
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Ich hab leider grad keinen Taschenrechner zur Hand, daher hab ichs in Wolfram Alpha eingegeben. Ist das Ergebnis 2; 6,55123*10^-30 korrekt?

Bei

Wieso gibt er denn dort 2 Ergebnisse aus, für einen eingesetzten Wert?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du irgendwas falsch eingegeben, es kommt natürlich nur 1 Wert raus: .
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

0.37

Und das ganze mach ich jetzt noch für ... Und hoffe dass da nicht noch ein Tiefpunkt bei rauskommt Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, jetzt noch das andere Einsetzen und ausrechnen. Es sollte auch was negatives rauskommen Augenzwinkern
locloc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hab ich es verstanden.
Wie kann ich ein rechnerisches (oder graphisches) Verfahren entwickeln bzw komm ich da auch auf keinen grünen Weg, wenn man annehmen kann, dass die ermittelte maximale Abbaurate siehe oben () beibehalten werden kann.

Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, wo der Stoff vollständig abgebaut wäre.
Muss man dann annehmen, die Gerade geht einfach so weiter? Dann wäre das ja eine Gerade mit der Steigung , und man muss nur noch "gucken", wo sie auf der x-Achse auftrifft, oder? Ich würd dann die nullstellen der Funktion suchen...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von locloc
Ok, dann hab ich es verstanden.
Wie kann ich ein rechnerisches (oder graphisches) Verfahren entwickeln bzw komm ich da auch auf keinen grünen Weg, wenn man annehmen kann, dass die ermittelte maximale Abbaurate siehe oben () beibehalten werden kann.


Das ist aber doch nicht die maximale Abbaurate. Wir haben bisher nur die Stelle bestimmt, wo die erste Ableitung einen Tiefpunkt hat, wie die Abbaurate ist müssen wir erst noch herausfinden.


Zitat:
Original von locloc
Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, wo der Stoff vollständig abgebaut wäre.
Muss man dann annehmen, die Gerade geht einfach so weiter? Dann wäre das ja eine Gerade mit der Steigung , und man muss nur noch "gucken", wo sie auf der x-Achse auftrifft, oder? Ich würd dann die nullstellen der Funktion suchen...


Ja, das wäre eine Gerade mit der (noch oben zu bestimmenden) Steigung, allerdings musst du dazu noch die Geradengleichung aufstellen.
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