Parameterdarstellung / Kurvenintegral

02.08.2010, 15:42

Physinetz

Parameterdarstellung / Kurvenintegral

Hallo,

habe mal kurz eine allgemeine Frage zur Parameterdarstellung und zum Kurvenintegral.

1) Wie kriegt man die denn raus? Kann man zu jeder Gleichung bzw. Funktion eine Parameterdarstellung erhalten?

Also die Parameterdarstellung für den Kreis und die Ellipse, sowie von Geraden und Ebenen ist mir geläufig.

Doch wie verhält es sich z.B. bei folgender Funktion f(x,y)=x³+3sin(y)

Kann man sowas überhaupt parametrisieren?

Laut wikipedia:

Zitat:

"Unter einer Parameterdarstellung einer Kurve versteht man in der Mathematik eine Darstellung, bei der die Punkte der Kurve über einen einzigen Parameter abgelaufen werden können"

Darunter wird dann noch das Thema Ebenen etc. angeschnitten. Heißt also praktisch man kann nur Kurven/Ellipsen im R^2 parametrisieren, im R^3 nur Ebenen? Meine Funktion fällt praktisch raus?!

2) Die Parameterdarstellung benötigt man ja für die Kurvenintegrale. Nur so ganz habe ich das noch nicht verstanden warum man eine Parameterdarstellung benötigt Matheboard-Erklärung

Das man bei einem Kurvenintegral praktisch eine Kurve im Raum hat, unter der man integriert habe ich verstanden. Weshalb aber man eine Parameterdarstellung nimmt, nicht wirklich, nur insofern, dass es einfacher sein soll?

Und wieso benötigt man bei einem Kurvenintegral ein Vektorfeld?Mann kann ja sicherlich auch im Raum unter einer Kurve integrieren ohne Vektorfeld?Ist das mit dem Vektorfeld nur eine Art der Definition, um dies z.B. beim Arbeitsintegral oder für Spannungsabfall (Elektrisches Feld) verwenden zu können?

Wäre nett wenn mir da jmd. auf die Sprünge helfen könnte, steige da noch nicht durch Freude

02.08.2010, 22:23

system-agent

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RE: Parameterdarstellung / Kurvenintegral
Zunächst einmal zu (1):
Ein Kurvenintegral ist, wie der Name schon sagt, ein Integral entlang einer Kurve, bzw. eines Weges. Und das ist per Definition eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma: [a,b]\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Intervall.

Der Weg ist durch diese Abbildung gegeben und das ist die Parametrisierung. Dann ist nur die Frage über was du entlang dieses Weges integrierst. Ist es eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann ist das Integral gegeben als
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}f\dd s=\int\limits_a^bf(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\dd t \end{eqnarray*}$ ,
oder ist es ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , dann ist das Integral gegeben als
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}F(z)\dd z=\int\limits_a^b\langle F(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\dd t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Physinetz

Doch wie verhält es sich z.B. bei folgender Funktion f(x,y)=x³+3sin(y)

Kann man sowas überhaupt parametrisieren?

Das beschreibt eine Fläche und eine Fläche ist kein Weg. Eine Parametrisierung einer Fläche braucht 2 freie Parameter.

03.08.2010, 11:38

Physinetz

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Ok jetzt ists ein wenig klarer geworden, hatte nämlich auch Probleme zu sehen, dass man einmal a) über ein Vektorfeld entlang der Kurve integrieren kann und b)über eine Funktion entlang der Kurve.

1) Und wieso brauch man nun die Parametrisierung, zur Vereinfachung fürs Integrieren?

2) Das Kurvenintegral darf man sich nicht als Fläche unter der Kurve vorstellen oder?Bei uns im Skript ist da nämlich eine Art "Gartenzaun" dargestellt, aber es handelt sich ja eigentlich nicht um eine Fläche?!

3) Wir haben bei uns in der Vorlesung mit den Begriffen "Ausfluss" und "Zirkulation" gearbeitet, hoffe dir bzw. euch ist das ein Verständnis, gibt ja glaub nicht allzuviel im Internet davon...

Dazu folgende Aufgabe:

Durch C: [0,pi/2]-->R² : t--> $\begin{eqnarray*} (cos³(t),sin³(t))^T \end{eqnarray*}$ sei eine Kurve parametrisiert, die durch einen Draht ausgefüllt wird, der die Massendichte $\begin{eqnarray*} \rho(C(t))=sin(t) \end{eqnarray*}$ besitzt. Erläutern Sie, warum die Gesamtmasse des Drahtes durch $\begin{eqnarray*} \int_C \rho(x) ds \end{eqnarray*}$ beschrieben wird, und berechnen Sie diese.

Es handelt sich hier ja um ein Kurvenintegral auf einer reellen Funktion. Dabei integriere ich ja nun die Massendichte über einen Weg/Volumen. Volumen/Dichte ergibt ja Masse, hat das damit dann etwas zu tun?
Ich hätte das ganze dann einfach mit folgendem Ansatz gelöst:
$\begin{eqnarray*} \int_C \rho(x) ds=\int_0^{\pi /2} \! \rho(C(t))*| C'(t) | dt \end{eqnarray*}$

In einer Musterlösung (weiß aber nicht ob diese richtig ist) wird nun ab der Ausfluss berechnet, also über:

$\begin{eqnarray*} \int_C \rho(x) ds=\int_0^{\pi /2} \! \rho(C(t)) \bullet \begin{pmatrix} C_2'(t) \\ -C_1'(t) \end{pmatrix} dt \end{eqnarray*}$

Verstehe nun nicht ganz wieso man nun den Ausfluss nimmt, der kommt doch sowieso dann nur wieder bei einem vektorfeld zu tragen oder?

Verwirrung³ gerade bei mir ;-)

Danke trotzdem

03.08.2010, 11:52

system-agent

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Wenn man das Kurvenintegral über eine Funktion bildet, dann kann man das schon als die Fläche zwischen Funktionsgraph und dem Weg vorstellen.
Nur die Frage ist inwiefern dir hier solche Vorstellungen helfen...

(1) Wie du gesehen hast braucht man das schon für die Definition des Integrals. Wie ich gesagt habe, die Abbildung $\begin{eqnarray*} [a,b]\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die den Weg beschreibt ist bereits die Parametrisierung.
Natürlich kann man einen Weg auch indirekt beschreiben, zb der Rand eines Kreises. Dann muss man eben zuerst eine passende Abbildung $\begin{eqnarray*} [a,b]\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ finden, dh den Weg parametrisieren.
Das kann ziemlich schwer sein diese Abbildung zu finden.

(3) Mit den Begriffen bin ich leider nicht vertraut, sorry. Ich fürchte auch, dass man mit den Begriffen diese Integrale nicht wirklich sauber definiert hat.

Wenn dein $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ eine reellwertige Funktion ist, dann ist dein Ansatz richtig.
Ich denke die verlangte Erklärung hat etwas mit "infinitesimalem Wegstück" zu tun etc.
Also im Sinne von Länge/Dichte gibt Masse oder sowas. Diese Aussagen sind aber ohne jede Garantie zu verstehen.

Beachte aber, dass solche Formulierungen wie "infinitesimales Wegstück" oder "infinitesimales Volumenelement" mathematisch gesehen ziemlich wackelig sind - zumindest bis man einmal eine rigorose Version davon hat.

03.08.2010, 13:05

Physinetz

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Ok passt, danke für die tolle Hilfe Freude

Hätte dann mal eine Frage zu folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_K(x²+y²)ds \end{eqnarray*}$ über die unten skizzierten Wege K_1...

Also bei K_1 habe ich als Parametrisierung heraus:

$\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] --R²: t-->t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kannst du natürlich nun nicht überprüfen da dir die Skizze fehlt, egal weiter...

Also meine Funktion wäre hier ja f(x,y)=x²+y²

und K meine Parametrisierung des Weges...

also: $\begin{eqnarray*} \int_K(x²+y²)ds=\int_0^1 \!f(K(t) )*| K'(t) |dt =\int_0^1 \! t²*| \sqrt{1²+0²} | = \left[\frac{1}{3} t³\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Habe also aus der Parametrisierung den oberen Wert als x-Wert (t), den unteren Wert als y-Wert (0t) aufgefasst und in x²+y² eingesetzt, und dann mit dem Betrag der "Ableitung" des Vektors multipliziert.

Stimmt das so? Bin da noch ein wenig unsicher...

03.08.2010, 13:17

system-agent

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Ja, alles wunderbar Augenzwinkern

.

Dein Weg $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist ein Geradenstück auf der x-Achse vom Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du ein Weg $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ hast, dann hast du ja für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einen Vektor $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(\gamma_1(t),...,\gamma_n(t))\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma_1(t),...,\gamma_n(t) \end{eqnarray*}$ die Komponenten des Vektors sind. Die Ableitung ist dann wirklich komponentenweise definiert, also $\begin{eqnarray*} \gamma'(t)=(\gamma_1'(t),...,\gamma_n'(t)) \end{eqnarray*}$ .
Damit bedeutet $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ auch wirklich $\begin{eqnarray*} f(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \end{eqnarray*}$ .

03.08.2010, 13:32

Physinetz

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Super!

Für folgenden Weg (Anhang) habe ich dann folgende Parametrisierungen:

[0,1]-->R²: $\begin{eqnarray*} t--> t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[0,1]-->R²: $\begin{eqnarray*} t--> t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[0,1]-->R²: $\begin{eqnarray*} t--> -t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die dürften ja stimmen...

Um den Weg zu ermitteln muss ich ja jetzt alle Wege teilweise berechnen und dann aufsummieren:

Also letztlich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t²*| \sqrt{1} | +\int_0^1 \! (t²+1²)*| \sqrt{1} |+\int_0^1 \! (1²+(-t)²+1²)*| \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Hoffe für dich ist das nachvollziehbar...

Stimmt das dann?

Mal eine ganz andere Idee: Angenommen ich multipliziere nicht immer mit dem Betrag der Ableitung der Parametrisierung also C'(t), sondern mit dem Betrag von C(t), also dem Betrag der Parametrisierung. Das würde ja praktisch gar nicht gehn, da die Parametrisierung die Länge des Weges nicht genau festlegt oder?
Also ich weiß du wirst dich sicherlich fragen für was man das brauchen soll, nur mit kam der Gedanke irgendwie, weil das mit dem Betrag einer Parametrisierung klappt ja nur dann, wenn ich die Ableitung der Parametrisierung nutze?! Hoffe du verstehst was ich meine, sonst erklär ichs nochmal...

Sonst wars das glaub ich vorerst *freu*

Danke system-agent !!!

03.08.2010, 17:39

system-agent

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Deine Wege stimmen leider nicht.
Für den "oberen" Weg musst du zb. $\begin{eqnarray*} t(1,1)^T+(1-t)(0,1)^T \end{eqnarray*}$ nehmen mit $\begin{eqnarray*} t\in[0,1] \end{eqnarray*}$ .

Beachte auch die Orientierungen ! Du musst die Wege so parametrisieren, dass du bei Null startest, dann zu $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ kommst [da ist deine Version OK], dann mein Weg von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ und zuletzt von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Läufst du einen der Wege falsch herum, kommt ein falsches Vorzeichen,dh hat man einen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma: [0,1]\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und den andersherum durchlaufenen Weg $\begin{eqnarray*} \delta : [0,1]\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} \delta(t):=\gamma(1-t) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\delta}f\,\dd s=-\int\limits_{\gamma}f\,\dd s\qquad(*) \end{eqnarray*}$ .
Das heisst die Orientierung ist wichtig!

Bei deiner Idee bin ich nicht so sicher was du meinst. Aber ich denke du meinst schon das Richtige.
Jedenfalls muss man auch bei dieser Definition eines Kurvenintegrals, wenigstens einmal in seinem Leben, überprüfen, dass die Parametrisierung keine Rolle spielt.
Und genau da kommt die Orientierung und (*) ins Spiel.

03.08.2010, 17:48

Physinetz

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hmm dachte mein oberer Weg würde stimmen, da hab ich doch dann für t=1 heraus:

$\begin{eqnarray*} t--> 1*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Orientierung stimmt doch auch, ich laufe von 0,0 nach 0,1 nach 1,1 und dann nach 0,1?

check nicht was bei meinem falsch ist hmm?

03.08.2010, 18:51

system-agent

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Tut mir leid, ich habe falsch geschaut Forum Kloppe

.

Dein letztes Integral stimmt aber irgendwie nicht. Du hast $\begin{eqnarray*} (1,1-t)^T \end{eqnarray*}$ als Gleichung des Weges und wenn du das in die Funktion $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kriegst du $\begin{eqnarray*} 1^2+(1-t)^2 \end{eqnarray*}$ .

Übrigens schreibt man beim Integral hinten noch ein $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ dran Augenzwinkern

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