Nilpotent |
| 30.10.2010, 17:13 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nilpotent Hätte mal wieder eine Frage und bräuchte eure Hilfe bei folgender Aufgabe: Sei A= Zeigen oder widerlegen Sie: Die Matrix ist nilpotent. Ich weiß jetzt leider nicht wie ich es angehen soll. Meine Lösungsversuche: [latex]A^{k}=0[\latex] Und wenn ich dann für [latex]A^{2}[\latex] [latex]A^{3}[\latex] einsetzte müsste meiner Meinung nach die Matrix nilpotent sein, nur weiß ich jetzt nicht wie ich es allgemein beweisen soll. danke lg |
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| 30.10.2010, 17:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nilpotent Bitte /latex verwenden. Welchen Rang hat deine Matrix? |
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| 30.10.2010, 17:42 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK! Ja der Rang der Matrix müsste 3 sein, meiner Meinung.... |
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| 30.10.2010, 17:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann die Matrix dann nilpotent sein? |
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| 31.10.2010, 10:12 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ja das problem... Ich hab in meinem Skriptum leider sehr wenig information über nilpotenten Matrizen....außer halt das .... Gibt es ein System mit dem ich sämtliche Matrizen überprüfen kann? Danke lg |
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| 31.10.2010, 10:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es wird nicht alles im Sktipt stehen. Aber du solltest über diese Frage mal selbst nachdenken. Welche Eigenwerte hat eine nilpotente Matrix? Kann sie regulär sein? Bordsuche kann auch helfen. |
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| 31.10.2010, 10:43 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, Naja sie ist meiner meinung nach nicht invertierbar, also auch nicht regulär... Eigenwerte wären auch 0 oder? Wie hängt dies jetzt mit dem Rang zusammen? |
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| 31.10.2010, 10:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da sehe ich einen Widerspruch. Wenn du den Rang nicht siehst, dann berechne doch mal die Determinante von A. |
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| 31.10.2010, 11:35 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Ja die Determinante ist -2 |
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| 31.10.2010, 11:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was kann man also über A sagen: regulär oder singulär? |
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| 31.10.2010, 14:52 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
regulär... sorry hab mich vorher getäuscht Also ist Sie auch invertierbar und damit nicht nilpotent....ist diese Aussage richtig? |
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| 31.10.2010, 14:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es kommen nun die richtigen Dinge. Invertierbar ist unnötig. Die det einer nilpotenten Matrix muss 0 sein. Kannst ja mal überlegen, warum. Ist die von A ungleich 0, kann sie nicht nilpotent sein. Ist das Kriterium hinreichend? Nein, Gegenbeispiel überlegen. |
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| 31.10.2010, 15:18 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab jetzt ein paar Matrizen ausprobiert und jedes mal wenn die det=0 ist ist sie auch nilpotent... Komme leider nur nicht auf den zusammenhang...... Gegenbsp, reicht da einfach eine Matrix die nicht nilpotent ist, wie die von mir gegebene? danke lg |
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| 31.10.2010, 18:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das macht mich nun traurig. Sei k das kleinste k mit . Was ist dann Welche Rechenregeln gibt es für Determinanten? |
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| 04.11.2010, 13:19 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK... Jetzt ist es mir klar. Naja wenn = 0 ist dann ist natürlich die Determinante auch 0. Zu den Rechenregeln, na da hätte wir folgendes Eine Determinante besitzt den Wert Null wenn: 1. Alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) sind Null. 2. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind gleich. 3. Eine Zeile (oder Spalte) ist ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder anderen Spalte). 4. Eine Zeile (oder Spalte) ist als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar. |
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| 04.11.2010, 13:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist mir schon viel zu kompliziert. 
Wichtig ist die Produktregel (im gegensatz zur Summe) giltWegen (Matrix) gilt wohl (aus IR). Damit folgt dann doch, wegen k ungleich 0 Somit muss gelten |
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| 04.11.2010, 13:42 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke tigerbiene für deine super Erklärung.... 
lg 12345 |
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| 04.11.2010, 13:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 04.11.2010, 15:04 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
allerdings hätte ich noch eine Frage an dich, det=0 ist ja nur ein kriterium.... oder gilt sobald eine Matrix det=0 ist sie nilpotent...kann ich mir nicht voirstellen... Was muss ich alles überprüfen damit ich sagen kann eine Matrix ist nilpotent. Das wäre für mich sehr wichtig,....bitte bitte |
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| 04.11.2010, 15:05 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Finde im Netz leider wirklich gute Definition... danke lg 12345 |
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| 04.11.2010, 15:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst lernen, wie man Aussagen einsetzt. det(A)=0 ist nur ein notwendiges Kriterium. Es nützt vor allem dann, wenn ich ausschließen will, dass die Matrix nilpotent ist. Wie in deinem Beispiel.
Wäre det(A)=0 gewesen, muss ich natürlich noch mehr prüfen, denn das Kriterium ist nicht hinreichend. Man nehme eine Diagonalmatrix mit nur einer 0-Komponente als Beispiel.
edit: Die Definition ist doch klar. Es muss ein k geben mit . |
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| 04.11.2010, 15:39 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine allerletzte Frage: Welche anderen Kriterien sind noch zu prüfen wenn ich zeigen will das Sie nilpotent ist? danke lg |
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| 04.11.2010, 15:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, am Ende immer die Definition, die habe ich doch schon hingeschrieben. Nun kannst du dir überlegen, was dafür notwendig ist und was hinreichend ist. Welche Eigenwerte hat denn eine nilpotente Matrix? Wie sieht ihre JNF aus? |
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| 08.11.2010, 22:12 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Tigerbiene, Hab jetzt mittlerweile die JNF berechnet, aber jetzt stellt sich mir eine Frage Wenn eine Matrix nicht nilpotent ist ...existiert eine JNF Ist eine Matrix nilpotent ....kann es meiner Meinung nach keine JNF geben, oder...da ja alle Eigenwerte 0 sind lg |
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| 08.11.2010, 22:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
http://www.matheboard.de/archive/292164/thread.html |
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| 09.11.2010, 10:30 | 12345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Link Jetzt stellt sich mir allerdings die Frage...für was ist es relevant ob die Matrix nilpotent ist...??? Wie steht dies im Zusammenhang der JNF? lg 12345 |
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| 09.11.2010, 11:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du fragst hier ja keine "bestimmten" Sachen sondern einen Themankatalog nilpotent. Daher gebe ich dir nur Richtungen, was man sich über nilpotente Matrizen überlegen kann. Mehr nicht.
Alle Eigenwerte 0. Und in der JNF sieht man doch schön, wie die Nebendiagonale je Potzen um eins weiter nach außen rutscht. |
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