Basis von Kern und und Bild bestimmen

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26.12.2011, 21:44	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Kern und und Bild bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, ich hab hier ne Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme. ich habe eine AbbildungL von A nach B berechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und diese umgeformt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Kern kann man nun ablesen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -0,5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun sagt mir meine Musterlösung, ich muss eine Linearkombination aus meinen Basisvektoren von A mit den Koeffizienten die ich aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -0,5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalte bilden,um den Kern zu erhalten. Warum verstehe ich nicht. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -0,5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist doch schon der Kern der Abbildung, oder? Außerdem soll ich eine Basis von Bild(L) bestimmen. Meine Lösung sagt hier: ich muss den Gauß auf die Werte der Basisvekoren von A, die ich unter L erhalte, anwenden, warum? Meine Ideen: Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke
26.12.2011, 23:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Kern und und Bild bestimmen Das ist nicht der Kern deiner Abbildung, sondern eine Basis des Kerns, der Vektor (0,-1,2) liegt zum Beispiel auch im Kern, also liegen alle Vielfachen deines errechneten Vektors im Kern der Abbildung. Um eine Basis des Bildes zu erhalten nimmst du dir eine Basis deines Vektorraums V (wenn die Abbildung von V---> W geht) und bildest sie durch die Abbildung ab. Eine Einführung gibt es hier: http://www.matheboard.de/archive/384510/thread.html
27.12.2011, 17:20	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für die Antwort. Da hast du recht mit der Basis des Kerns. Ich glaube ich habe mich schlecht ausgedrückt. Ker(L)=span((0,-1,2)) dann richtig oder? So jetzt sagt mir die musterlösung aber ich muss die Basis Vektoren von A $\begin{eqnarray} a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, a_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, a_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit den koeffizienten kombinieren, also: 0a1+a2(-1)+2a3= $\begin{eqnarray} a_{1} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Aber warum? Mit span((0,-1,2)) hab ich doch die Menge, die die Matrix auf Null abbildet. Warum dann noch die Kombination mit den Basisvektoren von A? Danke im Voraus!!
27.12.2011, 17:23	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn die Aufgabenstellung genau? Wenn die Abbildung dargestellt werden kann durch die Matrix in deinem ersten Post ist nichts mehr zu multiplizieren oder zu addieren, dann hast du den Kern richtig berechnet.
27.12.2011, 19:51	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgaben lauten: 1.Bestimmen Sie einen Basis von Ker(L) 2. Bestimmen Sie eine Basis von Bild(L) Ich hab dir mal die Aufgabe mit Lösung hochgeladen. zu 1 haben wir ja gesagt, dass span((0,-1,2)) durch die Abbdildung auf Null abgebildet wird. Damit wäre der Vektor (0,-1,2) ja logischerweise die Basis, oder? Das steht auch so in der Lösung. Allerdings wird dann ja wie ich sagte der Basisvektor des Kerns mit den Basisvektoren der Basis A linear kombiniert. Das check ich nicht. Muss man das vielleicht machen, weil der Kern span((0,-1,2)) in der Basis B gegeben ist und man den so in der Basis A angibt? Vielen Dank nochmal für deine Bemühungen!
27.12.2011, 19:56	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry dass ich das eine Bild nicht gedreht habe. Habs vergessen.
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27.12.2011, 20:44	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\\2&2&1\\1&-2&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist nicht die Abbildungsmatrix der Abbildung L, aber den Kern von L sollst du betimmen. Das ist einfach nachzuprüfen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\\2&2&1\\1&-2&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Abbildung L bildet aber den Vektor (1,0,1) ab auf den Vektor (1,4,3,2). Das, was in deiner Lösung in der rechten Untermatrix steht sind die Koordinatenvektoren, sie geben dir die Skalare für die Linearkombination der Bildvektoren bezüglich der Basis B an.
27.12.2011, 21:40	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das hab ich jetzt verstanden. aber wenn dass nicht die Abbildungsmatrix ist, welche ist es dann? Und warum werden dann trotzdem Ker(L) und Bild(L) mit Hilfe dieser Koordinatenmatrix bestimmt?
27.12.2011, 21:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dich noch einmal ein wenig in die Materie einlesen. Die Matrix $\begin{eqnarray} M_B^A(L) \end{eqnarray}$ repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich der Basen A und B. Die Spalten der Matrix sind die Koordinatenvektoren bezüglich B der Bilder L(a_i) der Basisvektoren a_i von A. Die Multiplikation $\begin{eqnarray} M_B^A(L) \cdot \vec{x} \end{eqnarray}$ , wobei x ein Koordinatenvektor bezüglich A ist, ergibt das Bild L(x) als Koordinatenvektor bezüglich B.
28.12.2011, 16:07	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
so, habs endlich begriffen. dein tipp mit den koeffizienten hat mir geholfen. ich hab mich jetzt tage lang damit beschäfftigt und es einfach nicht gecheckt. war da echt am verzweifeln da sieht man dann den wald vor lauter bäumen nicht und braucht nur einen kleinen tipp.
28.12.2011, 16:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit was für Koeffizienten? Schön, dass es klick gemacht hat, wenn noch Fragen da sind, gerne wieder.
28.12.2011, 16:42	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ja, wenn ich einen vektor v elemet von V abbilden möchte nach W dann gucke ich mit welcher linearkombination der basisvektoren ich diesen vektor eindeutig bestimmen kann. d.h. gls aufstellen und die alpha_i bestimmen. diese alpha_i bilden dann einen koeffizientenvektor, den ich mit der abbildungsmatrix multipliziere. so erhalte ich dann die abbildung eines vektors aus V nach W. Die Abbildungsmatrix A (B sei Basis von V und C sei Basis von W) stellt dabei die Koeffizienten dar, welche ich benötige, um die Bilder der Basisvektoren von B duch Linearkombination der Basisvektoren von C auszudrücken. Bitte sag mir, dass es richtig ist...^^
28.12.2011, 16:55	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Daher muss man dann auch bspw. bei der Bestimmung des Kerns zunächst gucken welches Lösung das GLS hat. in diesem Fall hatte es ja die Lösung span((0,-1,2)). Nun überlegt man sich, "Die abbildungsmatrix multipliziert mit (0,-1,2) ergibt ja Null. (0,-1,2) sind alpha_i 's eines Koeffizientvektors. Welchen Vektor ergibt also die Linearkombination der alpha_i 's mit den Basisvektoren?" In diesem Fall kommt dann dann (2,3,-3) heraus. richtig soweit? Danke
28.12.2011, 17:03	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich hab koeffizient mit koordinate verwechselt, aber sind meine ausführungen bis auf diesen vokabelfehler richtig
28.12.2011, 17:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Weitestgehend richtig.
28.12.2011, 17:26	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
was wäre denn noch zu verbessern. wäre dir wirlich dankbar wenn du mich verbessern könntest
28.12.2011, 17:48	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um Kleinigkeiten, die Abbildungsmatrix existiert nicht, sondern eine Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis. Wählt man eine andere Basis, so erhält man eine andere Abbildungsmatrix. Dann, das hast du selbst bereits gemerkt, Koordinatenvektor, nicht Koeffizientenvektor. wie gesagt, ansonsten richtig.

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