Kleinste-Quadrate-Approximation zu berechnen

03.07.2012, 17:40

pablosen

Kleinste-Quadrate-Approximation zu berechnen

Guten Tag.

Folgende Aufgabe ist mir gegeben worden:
-
$\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} , f(x) :=x^{10} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die kleinste-Quadrate-Approximation im Raum der quadratischen Polynome.
-

Das wars. Grundsätzlich sind da keine weiteren Informationen gegeben, aber es werden wohl äquidistante Stützstellen gemeint sein. Auch wird wohl eine quadratische Spline-Interpolation gemeint sein. Wenn ich die Stützstellen

$\begin{eqnarray*} x_0=0 , x_1=\frac{1}{2} , x_2 =1 \end{eqnarray*}$

wähle, was muss ich da jetzt machen? Ich verstehe das Howto auf eurer Seite nicht wirklich gut leider.

Grüsse

03.07.2012, 19:52

Dopap

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wenn, dann müssten die äquidistanten Stützstellen

$\begin{eqnarray*} S_1(0,0) \quad S_2(\frac 12 , \frac 1 {1024})\quad S_3(1,1) \end{eqnarray*}$

lauten.
Aber ob das die Beste ist ?

Ich glaube zu wissen, dass die Tschebyschow-Polynome andere Polynome am besten approximieren.

03.07.2012, 20:35

pablosen

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Zitat:

Original von Dopap
wenn, dann müssten die äquidistanten Stützstellen

$\begin{eqnarray*} S_1(0,0) \quad S_2(\frac 12 , \frac 1 {1024})\quad S_3(1,1) \end{eqnarray*}$

lauten.
Aber ob das die Beste ist ?

Ich glaube zu wissen, dass die Tschebyschow-Polynome andere Polynome am besten approximieren.

Es ist mir klar, dass die äquidistanten Stützstellen nicht die besten sind. Aber man kann das hier als gegeben betrachten.

Nun wieder zur eigentlichen Frage:

Weiss hier jemand, wie man diese kleinste-Quadrate-Approximation in diesem Fall berechnet für die 3 Stützstellen

$\begin{eqnarray*} (0,0) , (\frac{1}{2} , \frac{1}{2^{10}}) , (1,1) \end{eqnarray*}$ ?

Grüsse

03.07.2012, 21:06

Dopap

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bitte keine Vollzitate bei einer direkten Antwort. Was soll das?

bei 3 vorgegebenen Stützstellen ist das quadratische Polynom festgelegt:

$\begin{eqnarray*} p_2(x)=\frac {511}{256}x^2 -\frac {255}{256}x \end{eqnarray*}$

aber das ist doch nicht das Problem.

du suchst sicher ein g(x) = ax^2+bx+c mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \,(g(x)-x^{10})^2 \, \dd x \to \rm Min \end{eqnarray*}$

Ist es so?

03.07.2012, 22:34

pablosen

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Danke.

Ja, $\begin{eqnarray*} p_2 (x) \end{eqnarray*}$ habe ich so auch raus, das ist das globale Polynom mit den Newton-Differenzen berechnet und nun möchte ich, wie du richtig erraten hast, g finden, dass

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \,(g(x)-x^{10})^2 \, \dd x \to \rm Min \end{eqnarray*}$

Ich weiss nun aber leider nicht weiter. Was rätst du hier? Die Tschebyshev-Stützstellen wären ja für ein solch obiges globales Polynom gedacht...?

Grüsse

03.07.2012, 23:00

Dopap

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in meinen alten Unterlagen steht bei Tschebyscheffsches Polynom nur, wie man ein Polynom vom Grade n durch ein Polynom vom Grade n-1 approximiert unglücklich

Aber mal schräg gedacht, warum sollte die Funktion

$\begin{eqnarray*} (a,b,c) \in \mathbb R^3 \to \Delta I=\int_0^1 \,(g(x)-x^{10})^2 \, \dd x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

kein Minimum haben. Kann man das analytisch oder sonstwie finden?

Aber es gibt sicher noch andere Meinungen hierzu...

04.07.2012, 11:09

riwe

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vielleicht liegt´s an der menge der stützstellen verwirrt

04.07.2012, 12:02

pablosen

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Ich danke euch.

Riwe, welche Formeln hast du benutzt? Wie hast du das Ergebnis bekommen?

Ich verstehe dieses Beispiel von euch:
http://www.matheboard.de/archive/449516/thread.html

Jedoch ist mir unklar, wie ich bei unserem Beispiel hier auf 5 Bedingungen komme?

Grüsse

04.07.2012, 14:44

riwe

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ich habe die aufgabe halt so verstanden, dass man mit der methode der kleinsten fehlerquadrate die geeignete funktion bestimmen soll, also

$\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k=1}^n (ax^2+bx+c-x^{10})^2\to Min \end{eqnarray*}$

das ergebnis für n=11 zeigt das bilderl
(und stimmt mit der "trendlinie" von excel genau überein, surprise Augenzwinkern

)

mag aber auch sein, dass ich komplett daneben liege,
mein spezialgebiet sind eher rotweine unglücklich

04.07.2012, 15:14

pablosen

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Das ist hier nicht gefragt.

Es ist ein Polynom g vom Grad 2 gemeint mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \,(g(x)-x^{10})^2 \, \dd x \to \rm Min \end{eqnarray*}$

Das ist die Frage hier ... dass das Minimum existiert sind wir uns einig, aber wie findet/berechnet man es?

04.07.2012, 15:26

riwe

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ich denke so wie oben, aber wie du meinst

04.07.2012, 16:54

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \,(g(x)-x^{10})^2 \, \dd x \to \rm Min \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt einfach mal quadriert, integriert, und dann mit Gradient und Hesse-Matrix
ein Minimum gesucht. (mit dem Taschenrechner !)

und tatsächlich: $\begin{eqnarray*} a=\frac {225}{143}\quad b=-\frac {160}{143} \quad c=\frac {18}{143} \end{eqnarray*}$

ist ein Minimum mit $\begin{eqnarray*} \Delta I=\frac {1200}{143143} \end{eqnarray*}$ ,man beachte den Nenner!

was sich aber optisch kaum noch von der Lösung von "riwe" unterscheidet.

04.07.2012, 17:02

Huggy

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Die Lösung von Dopap kann ich bestätigen.

Man kann sich die Arbeit ein wenig erleichtern, wenn man erst ableitet und dann integriert. Es ist ja erlaubt, die Ableitung unter das Integral zu ziehen.

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