Kleinste-Quadrate-Approximation zu berechnen

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste-Quadrate-Approximation zu berechnen
Guten Tag.

Folgende Aufgabe ist mir gegeben worden:
-


Berechnen Sie die kleinste-Quadrate-Approximation im Raum der quadratischen Polynome.
-

Das wars. Grundsätzlich sind da keine weiteren Informationen gegeben, aber es werden wohl äquidistante Stützstellen gemeint sein. Auch wird wohl eine quadratische Spline-Interpolation gemeint sein. Wenn ich die Stützstellen



wähle, was muss ich da jetzt machen? Ich verstehe das Howto auf eurer Seite nicht wirklich gut leider.

Grüsse
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn, dann müssten die äquidistanten Stützstellen



lauten.
Aber ob das die Beste ist ?

Ich glaube zu wissen, dass die Tschebyschow-Polynome andere Polynome am besten approximieren.
 
 
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
wenn, dann müssten die äquidistanten Stützstellen



lauten.
Aber ob das die Beste ist ?

Ich glaube zu wissen, dass die Tschebyschow-Polynome andere Polynome am besten approximieren.
Es ist mir klar, dass die äquidistanten Stützstellen nicht die besten sind. Aber man kann das hier als gegeben betrachten.

Nun wieder zur eigentlichen Frage:

Weiss hier jemand, wie man diese kleinste-Quadrate-Approximation in diesem Fall berechnet für die 3 Stützstellen

?

Grüsse
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bitte keine Vollzitate bei einer direkten Antwort. Was soll das?

bei 3 vorgegebenen Stützstellen ist das quadratische Polynom festgelegt:



aber das ist doch nicht das Problem.

du suchst sicher ein g(x) = ax^2+bx+c mit



Ist es so?
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Ja, habe ich so auch raus, das ist das globale Polynom mit den Newton-Differenzen berechnet und nun möchte ich, wie du richtig erraten hast, g finden, dass



Ich weiss nun aber leider nicht weiter. Was rätst du hier? Die Tschebyshev-Stützstellen wären ja für ein solch obiges globales Polynom gedacht...?

Grüsse
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

in meinen alten Unterlagen steht bei Tschebyscheffsches Polynom nur, wie man ein Polynom vom Grade n durch ein Polynom vom Grade n-1 approximiert unglücklich

Aber mal schräg gedacht, warum sollte die Funktion



kein Minimum haben. Kann man das analytisch oder sonstwie finden?

Aber es gibt sicher noch andere Meinungen hierzu...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht liegt´s an der menge der stützstellen verwirrt
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch.

Riwe, welche Formeln hast du benutzt? Wie hast du das Ergebnis bekommen?

Ich verstehe dieses Beispiel von euch:
http://www.matheboard.de/archive/449516/thread.html

Jedoch ist mir unklar, wie ich bei unserem Beispiel hier auf 5 Bedingungen komme?

Grüsse
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die aufgabe halt so verstanden, dass man mit der methode der kleinsten fehlerquadrate die geeignete funktion bestimmen soll, also



das ergebnis für n=11 zeigt das bilderl
(und stimmt mit der "trendlinie" von excel genau überein, surprise Augenzwinkern )

mag aber auch sein, dass ich komplett daneben liege,
mein spezialgebiet sind eher rotweine unglücklich
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist hier nicht gefragt.

Es ist ein Polynom g vom Grad 2 gemeint mit



Das ist die Frage hier ... dass das Minimum existiert sind wir uns einig, aber wie findet/berechnet man es?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke so wie oben, aber wie du meinst
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



Ich habe jetzt einfach mal quadriert, integriert, und dann mit Gradient und Hesse-Matrix
ein Minimum gesucht. (mit dem Taschenrechner !)

und tatsächlich:

ist ein Minimum mit ,man beachte den Nenner!




was sich aber optisch kaum noch von der Lösung von "riwe" unterscheidet.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung von Dopap kann ich bestätigen.

Man kann sich die Arbeit ein wenig erleichtern, wenn man erst ableitet und dann integriert. Es ist ja erlaubt, die Ableitung unter das Integral zu ziehen.
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